Utilizando um polinômio de Taylor da função
, calcule um valor aproximad para
e estime o erro.
Passo 1
O enunciado pede um valor aproximado para
usando o polinômio de Taylor da função
, e também pede estimar o erro da aproximação.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar a série é
. - A aproximação
corresponde ao polinômio de Taylor truncado até o termo em .
Passo 2
Vamos obter a série de Taylor (desenvolvimento em torno de
) da função
e então de
.
Recordando o desenvolvimento de
em torno de
:
Isso vem de calcular as derivadas de
em
e usar a fórmula do polinômio de Taylor. Agora subtraindo
obtemos a série de
:
Ou seja, os termos até a ordem
são exatamente os que aparecem em
. Portanto
é o polinômio de Taylor de ordem 4 de
avaliado em
.
Passo 3
Agora calculamos numericamente cada termo para
. Primeiro definimos
Calculamos potências necessárias:
Agora cada termo de
:
Somando em ordem:
Portanto o valor aproximado obtido pelo polinômio truncado é
Passo 4
Agora estimamos o erro do truncamento. Há duas estimativas úteis:
- Forma de Lagrange (resto em termos da derivada de ordem
). O resto do polinômio de grau satisfa z
Como
, tem-se
. Assim
Para
isso dá
(Essa é uma cota válida, mas não muito precisa neste caso.)
- Usando que a série omitida a partir de
é uma série alternada com termos de módulo monotonicamente decrescentes para , podemos aplicar o critério da série alternada: o módulo do resto é menor do que o módulo do primeiro termo omitido. O primeiro termo omitido é , logo
Calculando numericamente:
Esta segunda cota é bem mais precisa aqui.
Passo 5
Como a cota mais forte é
, concluímos que o valor aproximado e a estimativa de erro são:
-
, - erro em módulo menor que aproximadamente
.
(Para checar: o valor exato
, e a diferença entre esse valor e a aproximação calculada é
, dentro da cota obtida.)