Utilizando um polinômio de Taylor da função f(x)=\cos (x)-x, calcule um valor aproximad para A=1-\frac{\pi}{4}-\frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}}{2!}+\frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{4}}{4!} e estime o erro.

Passo 1

O enunciado pede um valor aproximado para
A=1-\frac{\pi}{4}-\frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}}{2!}+\frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{4}}{4!}
usando o polinômio de Taylor da função f(x)=\cos(x)-x, e também pede estimar o erro da aproximação.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos(x)-x.
  • O ponto onde devemos avaliar a série é x=\dfrac{\pi}{4}.
  • A aproximação A corresponde ao polinômio de Taylor truncado até o termo em x^{4}.

Passo 2

Vamos obter a série de Taylor (desenvolvimento em torno de 0) da função \cos(x) e então de f(x)=\cos(x)-x.
Recordando o desenvolvimento de \cos(x) em torno de 0:
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots
Isso vem de calcular as derivadas de \cos em 0 e usar a fórmula do polinômio de Taylor. Agora subtraindo x obtemos a série de f:
f(x)=\cos(x)-x = 1 - x - \frac{x^{2}}{2!} + 0\cdot x^{3} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdots
Ou seja, os termos até a ordem x^{4} são exatamente os que aparecem em A. Portanto A é o polinômio de Taylor de ordem 4 de f avaliado em x=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Agora calculamos numericamente cada termo para x=\dfrac{\pi}{4}. Primeiro definimos
x=\frac{\pi}{4}\approx 0,7853981633974483.
Calculamos potências necessárias:
x^{2}\approx 0,6168502750680849, \qquad x^{4}=(x^{2})^{2}\approx 0,3805042618515719.
Agora cada termo de A:
1 \quad(\text{term. constante})
-\;x \approx -0,7853981633974483
-\;\frac{x^{2}}{2!} = -\frac{x^{2}}{2} \approx -\frac{0,6168502750680849}{2} = -0,30842513753404245
+\;\frac{x^{4}}{4!} = \frac{x^{4}}{24} \approx \frac{0,3805042618515719}{24} = 0,015854344243815497
Somando em ordem:
1 -0,7853981633974483 = 0,2146018366025517,
0,2146018366025517 -0,30842513753404245 = -0,09382330093149073,
-0,09382330093149073 +0,015854344243815497 = -0,07796895668767523.
Portanto o valor aproximado obtido pelo polinômio truncado é
A \approx -0,07796895668767523.

Passo 4

Agora estimamos o erro do truncamento. Há duas estimativas úteis:
  1. Forma de Lagrange (resto em termos da derivada de ordem 5). O resto do polinômio de grau 4 satisfa z
R_{4}(x)=\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^{5} \quad\text{para algum }\xi\text{ entre }0\text{ e }x.
Como f^{(5)}(t)=-\sin t, tem-se |f^{(5)}(\xi)|\le 1. Assim
|R_{4}(x)|\le \frac{|x|^{5}}{5!}=\frac{x^{5}}{120}.
Para x=\dfrac{\pi}{4} isso dá
\frac{x^{5}}{120}\approx \frac{0,234714\ldots /0,785398\ldots}{120}\approx 0,0024913\quad(\text{cota via Lagrange}).
(Essa é uma cota válida, mas não muito precisa neste caso.)
  1. Usando que a série omitida a partir de x^{6} é uma série alternada com termos de módulo monotonicamente decrescentes para |x|=\pi/4<1, podemos aplicar o critério da série alternada: o módulo do resto é menor do que o módulo do primeiro termo omitido. O primeiro termo omitido é -\dfrac{x^{6}}{6!}, logo
|R_{4}(x)|\le \frac{x^{6}}{6!}.
Calculando numericamente:
\frac{x^{6}}{6!}=\frac{( \pi/4 )^{6}}{720}\approx 0,00032596\\ (\text{aprox.}).
Esta segunda cota é bem mais precisa aqui.

Passo 5

Como a cota mais forte é |R_{4}|\le \dfrac{x^{6}}{6!}, concluímos que o valor aproximado e a estimativa de erro são:
  • A \approx -0,07796895668767523,
  • erro em módulo menor que aproximadamente 0,00032596.
(Para checar: o valor exato f(\pi/4)=\cos(\pi/4)-\pi/4=\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\pi}{4}\approx -0,0782913822109007, e a diferença entre esse valor e a aproximação calculada é \approx -0,0003224, dentro da cota obtida.)

Resposta

A \approx -0,07796895668767523
|R_{4}| \le 0,00032596

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