Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada. Prove que se o conjunto \mathscr{D} dos pontos de descontinuidade de f tem medida nula, então f é integrável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma função limitada f:[a,b]\to\mathbb{R} cujo conjunto \mathscr{D} de pontos de descontinuidade tem medida nula é Riemann-integrável em [a,b].
Conteúdo: critério de Lebesgue para integrabilidade (conjunto de descontinuidade de medida zero).
Objetivo: provar que para todo \varepsilon>0 existe partição P de [a,b] tal que
U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon,
onde U(f,P) e L(f,P) são, respectivamente, a soma superior e a soma inferior de Riemann de f relativa a P.

Passo 2

Como \mathscr{D} tem medida nula, para o mesmo \varepsilon>0 existe uma sequência de intervalos abertos \{I_k\}_{k=1}^\infty que cobre \mathscr{D} e tais que
\sum_{k=1}^{\infty}\lvert I_k\rvert < \frac{\varepsilon}{4M},
em que M é uma constante tal que \lvert f(x)\rvert\le M para todo x\in[a,b]. Defina
E=\bigcup_{k=1}^\infty I_k.
Então \mathscr{D}\subset E e \lvert E\rvert<\varepsilon/(4M).

Passo 3

Note que [a,b]\setminus E é fechado (logo compacto) e em cada ponto de [a,b]\setminus E a função f é contínua. Portanto f é uniformemente contínua em [a,b]\setminus E. Assim existe \delta>0 tal que, se x,y\in[a,b]\setminus E e \lvert x-y\rvert<\delta, então
\lvert f(x)-f(y)\rvert < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}.
Escolha uma partição P de [a,b] que satisfaça simultaneamente:
  1. todos os extremos dos intervalos I_k (que aparecem em \partial E) são pontos de P,
  2. cada subintervalo J\subset[a,b]\setminus E induzido por P tem comprimento \lvert J\rvert<\delta.

Passo 4

Agora separamos os subintervalos de P em dois tipos:
  • Tipo I: J\subset E.
  • Tipo II: J\subset[a,b]\setminus E.
Para um subintervalo J de Tipo I, como \lvert f\rvert\le M, temos
\bigl(\sup_J f - \inf_J f\bigr)\,\lvert J\rvert \le 2M\,\lvert J\rvert.
Somando sobre todos os J\subset E obtemos
\sum_{J\subset E}\bigl(\sup_J f - \inf_J f\bigr)\lvert J\rvert \le 2M\sum_{J\subset E}\lvert J\rvert =2M\,\lvert E\rvert <2M\cdot\frac{\varepsilon}{4M}=\frac{\varepsilon}{2}.
Para um subintervalo J de Tipo II, temos \lvert J\rvert<\delta e, pela uniformidade,
\sup_J f - \inf_J f < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}.
Logo
\sum_{J\subset[a,b]\setminus E}\bigl(\sup_J f - \inf_J f\bigr)\lvert J\rvert <\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\sum_{J\subset[a,b]\setminus E}\lvert J\rvert =\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\,(b-a) =\frac{\varepsilon}{2}.
Somando as duas contribuições dos subintervalos Tipo I e Tipo II segue que
U(f,P)-L(f,P) =\sum_{J\in P}\bigl(\sup_J f - \inf_J f\bigr)\lvert J\rvert <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe partição P com U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon. Pela definição, f é Riemann-integrável em [a,b].

Resposta

f é Riemann-integrável em [a,b].

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