Seja
uma função limitada. Prove que se o conjunto
dos pontos de descontinuidade de
tem medida nula, então
é integrável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma função limitada
cujo conjunto
de pontos de descontinuidade tem medida nula é Riemann-integrável em
.
Conteúdo: critério de Lebesgue para integrabilidade (conjunto de descontinuidade de medida zero).
Objetivo: provar que para todo existe partição
de
tal que
Conteúdo: critério de Lebesgue para integrabilidade (conjunto de descontinuidade de medida zero).
Objetivo: provar que para todo
onde
e
são, respectivamente, a soma superior e a soma inferior de Riemann de
relativa a
.
Passo 2
Como
tem medida nula, para o mesmo
existe uma sequência de intervalos abertos
que cobre
e tais que
em que
é uma constante tal que
para todo
. Defina
Então
e
.
Passo 3
Note que
é fechado (logo compacto) e em cada ponto de
a função
é contínua. Portanto
é uniformemente contínua em
. Assim existe
tal que, se
e
, então
Escolha uma partição
de
que satisfaça simultaneamente:
- todos os extremos dos intervalos
(que aparecem em ) são pontos de , - cada subintervalo
induzido por tem comprimento .
Passo 4
Agora separamos os subintervalos de
em dois tipos:
- Tipo I:
. - Tipo II:
.
Para um subintervalo
de Tipo I, como
, temos
Somando sobre todos os
obtemos
Para um subintervalo
de Tipo II, temos
e, pela uniformidade,
Logo
Somando as duas contribuições dos subintervalos Tipo I e Tipo II segue que
Isso mostra que para todo
existe partição
com
. Pela definição,
é Riemann-integrável em
.