Um conjunto X \subset \mathbb{R} tem medida nula quando, para todo \varepsilon>0 dado, existe uma cobertura finita ou infinita enumerável de X, ou seja X \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k} por conjuntos abertos I_{k} cuja soma dos comprimentos \sum_{k=1}^{\infty}\left|I_{k}\right|<\varepsilon. Prove que o conjunto dos números naturais \mathbb{N} tem medida nula.

Passo 1

O enunciado define que um conjunto X\subset\mathbb{R} tem medida nula se, para todo \varepsilon>0, existe uma cobertura contável de X por intervalos abertos I_k tais que
X\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k \quad\text{e}\quad \sum_{k=1}^{\infty}\lvert I_k\rvert<\varepsilon.
Vamos mostrar que \mathbb{N} satisfaz essa definição, isto é, \mathbb{N} tem medida zero.

Passo 2

Seja um \varepsilon>0 dado. Para cada número natural k\in\mathbb{N}, definimos um intervalo aberto I_k centrado em k de comprimento proporcional a 2^{-k}. Por exemplo,
I_k=\Bigl(k-\tfrac{\varepsilon}{2^{\,k+1}},\,k+\tfrac{\varepsilon}{2^{\,k+1}}\Bigr).
Então \lvert I_k\rvert = \tfrac{\varepsilon}{2^k} e, evidentemente, k\in I_k, de modo que
\mathbb{N}\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k.

Passo 3

Basta verificar que a soma dos comprimentos fica abaixo de \varepsilon:
\sum_{k=1}^{\infty}\lvert I_k\rvert =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^k} =\varepsilon\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} =\varepsilon\bigl(1\bigr) =\varepsilon,
pois \sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}=1. Logo temos uma cobertura contável de \mathbb{N} por intervalos cujo comprimento total é exatamente \varepsilon, e como \varepsilon era arbitrário, concluímos que \mathbb{N} tem medida nula.

Resposta

O conjunto \mathbb{N} tem medida nula.

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