Um conjunto
tem medida nula quando, para todo
dado, existe uma cobertura finita ou infinita enumerável de
, ou seja
por conjuntos abertos
cuja soma dos comprimentos
. Prove que o conjunto dos números naturais
tem medida nula.
Passo 1
O enunciado define que um conjunto
tem medida nula se, para todo
, existe uma cobertura contável de
por intervalos abertos
tais que
Vamos mostrar que
satisfaz essa definição, isto é,
tem medida zero.
Passo 2
Seja um
dado. Para cada número natural
, definimos um intervalo aberto
centrado em
de comprimento proporcional a
. Por exemplo,
Então
e, evidentemente,
, de modo que
Passo 3
Basta verificar que a soma dos comprimentos fica abaixo de
:
pois
. Logo temos uma cobertura contável de
por intervalos cujo comprimento total é exatamente
, e como
era arbitrário, concluímos que
tem medida nula.
Resposta
O conjunto
tem medida nula.