Seja f um campo escalar e \mathbf{F} um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
\operatorname{grad} f

Passo 1

Temos um campo escalar f definido num domínio em \mathbb{R}^n e queremos analisar a expressão \operatorname{grad}f. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: o operador gradiente (∇) só é aplicado a campos escalares diferenciáveis e produz, por definição, um campo vetorial formado pelas derivadas parciais de f.

Passo 2

Por definição, se f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} é diferenciável, então
\operatorname{grad}f = \nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1},\,\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\Bigr).
Logo a operação faz sentido sempre que f for diferenciável, e o resultado é um vetor em cada ponto.

Resposta

A expressão \operatorname{grad}f é significativa (desde que f seja diferenciável) e produz um campo vetorial.

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