Seja f um campo escalar e \mathbf{F} um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a expressão \operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)
onde f é um campo escalar. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: sabemos que
– o operador gradiente \operatorname{grad} (ou \nabla) leva um escalar a um campo vetorial,
– o operador rotacional \operatorname{rot} (ou \nabla\times) leva um campo vetorial a outro campo vetorial.

Passo 2

Como f é escalar, \operatorname{grad}f existe e é um campo vetorial. Em notação,
\operatorname{grad}f = \nabla f
é um vetor cujas componentes são \partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \partial f/\partial z.

Passo 3

Aplicar \operatorname{rot} a um campo vetorial faz sentido, pois
\operatorname{rot}(\nabla f) = \nabla \times (\nabla f)
é a definição usual de “curl de um gradiente”. O resultado deve ser um campo vetorial.

Passo 4

Pela identidade fundamental do cálculo vetorial, o rotacional de um gradiente é sempre o vetor nulo:
\operatorname{rot}(\nabla f)=\mathbf{0}.
Isso vale desde que f seja suficientemente suave (derivável duas vezes).

Resposta

A expressão \operatorname{rot}(\operatorname{grad}f) tem significado e é um campo vetorial, e vale identicamente o vetor nulo.

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