Seja f um campo escalar e \mathbf{F} um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)

Passo 1

Temos um campo escalar f e queremos avaliar a expressão \operatorname{div}(\operatorname{grad} f). O conteúdo aqui é o uso dos operadores diferenciais do cálculo vetorial: o gradiente leva um escalar a um vetor e a divergência leva um vetor a um escalar. Vamos verificar se essa composição faz sentido e qual o tipo de campo resultante.

Passo 2

Primeiro aplicamos o gradiente em f, obtendo o campo vetorial
\operatorname{grad}f = \nabla f.
Em seguida aplicamos a divergência nesse vetor, o que produz o escalar
\operatorname{div}(\nabla f)=\nabla\cdot(\nabla f)=\Delta f,
que é justamente o laplaciano de f.

Resposta

A expressão \operatorname{div}(\operatorname{grad} f) faz sentido e resulta em um campo escalar (o laplaciano \Delta f).

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