Seja f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável até a ordem n em um intervalo I \subset D_{f} contendo um ponto x_{0}. O polinômio de Taylor, de ordem n, de f em torno do
ponto x_{0} \in I, é dado por
P(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{n}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n} .
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 5 das seguintes funções em torno do ponto dado.
f(x)=e^{x} \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 de f(x)=e^x em torno de x_0=0. O conteúdo usado é a fórmula de Taylor-Maclaurin, que para ordem n é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.

Passo 2

Como f(x)=e^x, todas as derivadas são f^{(k)}(x)=e^x. Em x_0=0 temos
f^{(k)}(0)=e^0=1,\quad \text{para todo }k\ge0.

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor com n=5 e x_0=0 obtemos
P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{1}{k!}x^k =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}.

Resposta

P_5(x)=1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120}.

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