Seja f derivável num intervalo contendo A e assuma que \left(x_{n}\right) é uma sequência em A tal que \lim x_{n}=0 e x_{n} \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}.
(a) Se f\left(x_{n}\right)=0 para todo n \in \mathbb{N}, mostre que f(0)=0 e f^{\prime}(0)=0.
(b) Suponha que f^{\prime \prime}(0)=0 existe. Mostre que f^{\prime \prime}(0)=0.
Dica: Para o item (b), use o Teorema do Valor Médio.

Passo 1

O enunciado diz que f é derivável num intervalo que contém 0 e que existe uma sequência (x_n)\subset A tal que x_n\neq0 para todo n e \lim_{n\to\infty}x_n = 0. Além disso, vale
f(x_n) = 0,\quad \forall n\in\mathbb{N}.
Em (a) vamos mostrar que f(0)=0 e f'(0)=0. Em (b), supondo que existe f''(0), usaremos o Teorema do Valor Médio para concluir que f''(0)=0.

Passo 2

Como f é derivável em 0, é também contínua em 0. Logo
f(0) \;=\;\lim_{x\to0}f(x) \;=\;\lim_{n\to\infty}f(x_n) \;=\;0.

Passo 3

Pela definição de derivada em 0,
f'(0) =\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}.
Escolhendo x=x_n, como f(x_n)=0 e x_n\neq0, temos
\frac{f(x_n)}{x_n} =\frac{0}{x_n} =0,
e portanto, pelo caráter único do limite,
f'(0)=0.

Passo 4

Para (b), suponha que f''(0) existe. Aplicamos o Teorema do Valor Médio ao trecho [0,x_n] (ou [x_n,0] se x_n<0). Existe c_n entre 0 e x_n tal que
f'(c_n) =\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0} =\frac{0-0}{x_n} =0.
Como c_n está entre 0 e x_n e x_n\to0, temos \lim_{n\to\infty}c_n = 0.

Passo 5

Pela definição de segunda derivada em 0,
f''(0) =\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{x},
pois já mostramos f'(0)=0. Tomando x=c_n, onde f'(c_n)=0, obtemos
\frac{f'(c_n)}{c_n} =\frac{0}{c_n} =0 \quad\Longrightarrow\quad f''(0)=0.

Resposta

f(0)=0,\quad f'(0)=0,\quad f''(0)=0.

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