Seja
derivável num intervalo contendo A e assuma que
é uma sequência em A tal que
e
.
(a) Se
para todo
, mostre que
e
.
(b) Suponha que
existe. Mostre que
.
Dica: Para o item (b), use o Teorema do Valor Médio.
(a) Se
(b) Suponha que
Passo 1
O enunciado diz que
é derivável num intervalo que contém 0 e que existe uma sequência
tal que
para todo
e
. Além disso, vale
Em (a) vamos mostrar que
e
. Em (b), supondo que existe
, usaremos o Teorema do Valor Médio para concluir que
.
Passo 2
Como
é derivável em 0, é também contínua em 0. Logo
Passo 3
Pela definição de derivada em 0,
Escolhendo
, como
e
, temos
e portanto, pelo caráter único do limite,
Passo 4
Para (b), suponha que
existe. Aplicamos o Teorema do Valor Médio ao trecho
(ou
se
). Existe
entre 0 e
tal que
Como
está entre 0 e
e
, temos
.
Passo 5
Pela definição de segunda derivada em 0,
pois já mostramos
. Tomando
, onde
, obtemos