Seja
. Suponha que
e
existam para todo
e que existam
distintos tais que
. Mostre que existe
tal que
.
Dica: Use o Teorema de Rolle.
Dica: Use o Teorema de Rolle.
Passo 1
Resumindo, temos uma função
com derivadas primeira e segunda existentes em todo ponto, e três valores distintos
tais que
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Rolle, que garante um zero da derivada sempre que uma função contínua e derivável assume o mesmo valor em dois pontos.
Passo 2
Sem perda de generalidade, ordenamos os pontos como
Como
, aplicando Rolle em
obtemos um ponto
tal que
Passo 3
De modo análogo, como
, pelo Teorema de Rolle existe
com
Passo 4
Agora
é contínua em
e derivável em
, e satisfaz
Aplicando Rolle a
em
surge um ponto
tal que
Resposta
Existe
tal que
.