Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Suponha que f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x) existam para todo x \in \mathbb{R} e que existam x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb{R} distintos tais que f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{3}\right)=0. Mostre que existe c \in \mathbb{R} tal que f^{\prime \prime}\text{(c)}=0.
Dica: Use o Teorema de Rolle.

Passo 1

Resumindo, temos uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com derivadas primeira e segunda existentes em todo ponto, e três valores distintos x_1,x_2,x_3 tais que
f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Rolle, que garante um zero da derivada sempre que uma função contínua e derivável assume o mesmo valor em dois pontos.

Passo 2

Sem perda de generalidade, ordenamos os pontos como
x_1 < x_2 < x_3.
Como f(x_1)=f(x_2)=0, aplicando Rolle em [x_1,x_2] obtemos um ponto
c_1 \in (x_1,x_2)
tal que
f'(c_1)=0.

Passo 3

De modo análogo, como f(x_2)=f(x_3)=0, pelo Teorema de Rolle existe
c_2 \in (x_2,x_3)
com
f'(c_2)=0.

Passo 4

Agora f' é contínua em [c_1,c_2] e derivável em (c_1,c_2), e satisfaz
f'(c_1)=f'(c_2)=0.
Aplicando Rolle a f' em [c_1,c_2] surge um ponto
c\in(c_1,c_2)\subset(x_1,x_3)
tal que
f''\text{(c)}=0.

Resposta

Existe c\in\mathbb{R} tal que f''\text{(c)}=0.

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