Seja f uma função escalar e A um campo vetorial
(a) Mostre a identidade vetorial nabla cdot(f A)=f(nabla cdot A)+A cdot(nabla f)
(b) Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que integralE f(nabla A) d tau=-integralE A (nabla f) d tau+ointS f A d a

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar a regra do produto para a divergência, isto é, a identidade
nablacdot(fA)=f,(nablacdotA)+Acdot(nablaf)
  1. Integrar ambos os lados dessa identidade sobre um volume E e usar o teorema da divergência para chegar a
integralEf(nablacdotA),dtau=-integralEAcdot(nablaf),dtau+ointSf,Acdot da
Vamos precisar do conceito de divergência em coordenadas cartesianas e do teorema de Gauss (divergência).

Passo 2

Para provar
nablacdot(fA)=?
escrevemos em índices (soma de i=1,2,3):
nablacdot(fA) =sumi=1^3partialpartial xil(f,Air) =sumi=1^3l(Ai,partial fpartial xi+f,partial Aipartial xir)
Reagrupando os termos, reconhecemos
sumiAi,partial fpartial xi=Acdot(nablaf), sumif,partial Aipartial xi=f,(nablacdotA),
logo
nablacdot(fA) =f,(nablacdotA) +Acdot(nablaf)

Passo 3

Agora integramos ambos os lados sobre o volume E:
integralEnablacdot(fA),dtau =integralEf,(nablacdotA),dtau +integralEAcdot(nablaf),dtau

Passo 4

Pelo teorema da divergência de Gauss,
integralEnablacdot(fA),dtau =ointSf,Acdot da
Substituindo na igualdade do passo anterior e isolando integralEf(nablacdotA),dtau, obtemos
integralEf(nablacdotA),dtau =-integralEAcdot(nablaf),dtau +ointSf,Acdot da

Resposta

(a) nablacdot(fA)=f,(nablacdotA)+Acdot(nablaf)
(b) integralEf(nablacdotA),dtau=-integralEAcdot(nablaf),dtau+ointSf,Acdot da

Exercícios relacionados