Seja
uma função escalar e
um campo vetorial
(a) Mostre a identidade vetorial
(b) Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que
(a) Mostre a identidade vetorial
(b) Integre sobre um volume ambos os lados e use o teorema do divergente para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar a regra do produto para a divergência, isto é, a identidade
- Integrar ambos os lados dessa identidade sobre um volume
e usar o teorema da divergência para chegar a
Vamos precisar do conceito de divergência em coordenadas cartesianas e do teorema de Gauss (divergência).
Passo 2
Para provar
escrevemos em índices (soma de
):
Reagrupando os termos, reconhecemos
logo
Passo 3
Agora integramos ambos os lados sobre o volume
:
Passo 4
Pelo teorema da divergência de Gauss,
Substituindo na igualdade do passo anterior e isolando
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(b)