Qual é a densidade volumétrica de carga de uma casca esférica uniforme infinitamente fina, de raio R e carga Q, centrada na origem? Sugestão: escreva rho(r)=B de<a(r-R).

Passo 1

O problema pede a densidade volumétrica de carga rho(vec r) de uma casca esférica infinitamente fina de raio R e carga total Q, centrada na origem. O conteúdo é usar a função delta de Dirac em coordenadas esféricas para descrever uma distribuição localizada em r=R.

Passo 2

Como a casca é esférica e uniforme, a densidade só depende de r=lvert vec rrvert e deve anular-se para rneq R. Logo, propomos
rho(vec r)=B,de<al(r-Rr),
onde B é uma constante a determinar.

Passo 3

Para achar B, impondo que a carga total seja Q, fazemos
integralR^3rho(vec r),d^3r = integral0^inftyintegral0^piintegral0^2pi B,de<a(r-R);r^2sintheta,dphi,dtheta,dr = Bcdot 4piintegral0^inftyde<a(r-R),r^2,dr

Passo 4

Usamos a propriedade do delta:
integral0^inftyde<a(r-R),r^2,dr = R^2
Portanto
Q = Bcdot 4pi R^2 Rightarrow B = Q4pi R^2

Resposta

rho(vec r) = Q4pi R^2,de<al(r-Rr),
ou seja,
rho(vec r) = Q4pi R^2,de<al(lvert vec rrvert - Rr)

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