Seja
uma função monótona em um intervalo
tal que
para todo
. Seja
a inversa de
. Mostre que se
existe em um ponto
, então para
,
existe e
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
-
Informações do enunciado:
-
é monótona em um intervalo . -
para todo . -
é a função inversa de (ou seja, para todo e para todo no contradomínio). - Em um ponto
assume-se que existe. - Define-se
.
-
-
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
existe. - Mostrar a igualdade
- Mostrar que
Nada mais será assumido; a partir daqui vamos provar a existência e calcular a segunda derivada da inversa em
passo a passo.
Passo 2
Primeira ferramenta que usamos: a relação básica entre
e sua inversa
:
Essa identidade é a base. Vou diferenciá-la uma vez em
(usando a regra da cadeia) para obter a derivada de
. Explico a regra da cadeia antes de aplicar: se
, então
. Aqui
e
é a função externa.
Aplicando a regra da cadeia à identidade
obtemos
Isto é porque a derivada do lado direito
em relação a
é
. Portanto podemos isolar
:
Em particular, avaliando em
(lembrando que
) temos
Comentário didático: essa é a fórmula padrão da derivada da inversa. A condição
garante que
, portanto a fração faz sentido.
Passo 3
Agora queremos a segunda derivada
. Vou derivar a expressão obtida em
em relação a
. Antes de derivar, explico duas regras que vamos usar:
- Regra da cadeia (novamente): se
então . - Regra para a derivada do recíproco: se
é diferenciável e não nulo, então .
Aqui vamos aplicar a regra do recíproco com
. Precisamos calcular
.
Passo 4
Calcular
usando regra da cadeia:
Explicação: a derivada de
em um ponto
é
; ao compor com
aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do recíproco à expressão
. Pela regra do recíproco,
Substituímos
e
pelas expressões em termos de
e
encontradas acima:
Passo 6
Ainda podemos simplificar substituindo
por
(obtido no Passo 2). Fazendo isso:
Multiplicando as potências no denominador, obtemos a forma compacta
Passo 7
Agora avaliamos essa expressão em
. Como
, substituímos
por
e obtemos
Passo 8
Justificativa da existência de
: usamos que
existe (hipótese) e que
(já que
em
). A existência de
implica que
é diferenciável em
, e como
é diferenciável em
com
, a composição
é diferenciável em
. Assim
existe e a fórmula do recíproco dá a existência de
. Em palavras mais amigas: ter
garante que ao “diferenciar de novo” a relação
tudo é legítimo no ponto correspondente, e por isso a segunda derivada da inversa existe e é a fórmula acima.