Seja f uma função monótona em um intervalo I tal que f^{\prime}(x)>0 para todo x \in I. Seja \varphi a inversa de f. Mostre que se f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) existe em um ponto x_{0} \in I, então para y_{0}=f\left(x_{0}\right), \varphi^{\prime \prime}\left(y_{0}\right) existe e
\varphi^{\prime \prime}\left(y_{0}\right)=-\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{\left[f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right]^{3}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informações do enunciado:
    • f é monótona em um intervalo I.
    • f^{\prime}(x)>0 para todo x\in I.
    • \varphi é a função inversa de f (ou seja, \varphi(f(x))=x para todo x\in I e f(\varphi(y))=y para todo y no contradomínio).
    • Em um ponto x_{0}\in I assume-se que f^{\prime\prime}(x_{0}) existe.
    • Define-se y_{0}=f(x_{0}).
  • O que o enunciado pede:
    • Mostrar que \varphi^{\prime\prime}(y_{0}) existe.
    • Mostrar a igualdade \varphi^{\prime\prime}(y_{0})=-\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{\bigl[f^{\prime}(x_{0})\bigr]^{3}}.
Nada mais será assumido; a partir daqui vamos provar a existência e calcular a segunda derivada da inversa em y_{0} passo a passo.

Passo 2

Primeira ferramenta que usamos: a relação básica entre f e sua inversa \varphi:
f(\varphi(y))=y\quad\text{para todo \(y\) no domínio de \(\varphi\).}í
Essa identidade é a base. Vou diferenciá-la uma vez em y (usando a regra da cadeia) para obter a derivada de \varphi. Explico a regra da cadeia antes de aplicar: se g(x)=f(h(x)), então g'(x)=f'(h(x))\cdot h'(x). Aqui h(x)=\varphi(y) e f é a função externa.
Aplicando a regra da cadeia à identidade f(\varphi(y))=y obtemos
f'(\varphi(y))\cdot \varphi'(y)=1.
Isto é porque a derivada do lado direito y em relação a y é 1. Portanto podemos isolar \varphi'(y):
\varphi'(y)=\frac{1}{f'(\varphi(y))}.
Em particular, avaliando em y_0 (lembrando que \varphi(y_0)=x_0) temos
\varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}.
Comentário didático: essa é a fórmula padrão da derivada da inversa. A condição f'(x)>0 garante que f'(x_0)\neq 0, portanto a fração faz sentido.

Passo 3

Agora queremos a segunda derivada \varphi''(y_0). Vou derivar a expressão obtida em \varphi'(y)=\dfrac{1}{f'(\varphi(y))} em relação a y. Antes de derivar, explico duas regras que vamos usar:
  • Regra da cadeia (novamente): se u(y)=F(G(y)) então u'(y)=F'(G(y))\cdot G'(y).
  • Regra para a derivada do recíproco: se U(y) é diferenciável e não nulo, então \bigl(1/U(y)\bigr)' = -U'(y)/U(y)^2.
Aqui vamos aplicar a regra do recíproco com U(y)=f'(\varphi(y)). Precisamos calcular U'(y).

Passo 4

Calcular U'(y) usando regra da cadeia:
U(y)=f'(\varphi(y))\quad\Rightarrow\quad U'(y)=f''(\varphi(y))\cdot \varphi'(y).
Explicação: a derivada de f' em um ponto x é f''(x); ao compor com \varphi(y) aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por \varphi'(y).

Passo 5

Agora aplicamos a regra do recíproco à expressão \varphi'(y)=1/U(y). Pela regra do recíproco,
\varphi''(y)=\bigl(\varphi'(y)\bigr)'=\left(\frac{1}{U(y)}\right)'=-\frac{U'(y)}{U(y)^2}.
Substituímos U'(y) e U(y) pelas expressões em termos de f e \varphi encontradas acima:
\varphi''(y)=-\frac{f''(\varphi(y))\cdot \varphi'(y)}{\bigl(f'(\varphi(y))\bigr)^{2}}.

Passo 6

Ainda podemos simplificar substituindo \varphi'(y) por 1/f'(\varphi(y)) (obtido no Passo 2). Fazendo isso:
\varphi''(y)=-\frac{f''(\varphi(y))}{\bigl(f'(\varphi(y))\bigr)^{2}}\cdot\frac{1}{f'(\varphi(y))}.
Multiplicando as potências no denominador, obtemos a forma compacta
\varphi''(y)=-\frac{f''(\varphi(y))}{\bigl(f'(\varphi(y))\bigr)^{3}}.

Passo 7

Agora avaliamos essa expressão em y=y_0. Como \varphi(y_0)=x_0, substituímos \varphi(y_0) por x_0 e obtemos
\varphi''(y_0)=-\frac{f''(x_0)}{\bigl(f'(x_0)\bigr)^{3}}.

Passo 8

Justificativa da existência de \varphi''(y_0): usamos que f''(x_0) existe (hipótese) e que f'(x_0)\neq 0 (já que f'(x)>0 em I). A existência de f''(x_0) implica que f' é diferenciável em x_0, e como \varphi é diferenciável em y_0 com \varphi'(y_0)=1/f'(x_0), a composição f'(\varphi(y)) é diferenciável em y_0. Assim U'(y_0) existe e a fórmula do recíproco dá a existência de \varphi''(y_0). Em palavras mais amigas: ter f''(x_0) garante que ao “diferenciar de novo” a relação f(\varphi(y))=y tudo é legítimo no ponto correspondente, e por isso a segunda derivada da inversa existe e é a fórmula acima.

Resposta

\varphi^{\prime\prime}(y_{0})=-\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{\bigl[f^{\prime}(x_{0})\bigr]^{3}}

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