Seja f um função par e contínua tal que \int_{0}^{4} f\left(\frac{x}{2}\right) d x=1. Determine \int_{-2}^{2} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado diz que f é uma função par e contínua e que
\int_{0}^{4} f\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,dx = 1.
Queremos calcular
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.
Para isso usaremos uma mudança de variável no integral dado e depois a paridade de f.

Passo 2

Façamos a substituição
u = \frac{x}{2}, \quad x = 2u, \quad dx = 2\,du.
Quando x vai de 0 a 4, u vai de 0 a 2. Logo,
\int_{0}^{4} f\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,dx = \int_{0}^{2} f(u)\,\bigl(2\,du\bigr) = 2\int_{0}^{2} f(u)\,du = 1.
Dessa igualdade segue
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \tfrac12.

Passo 3

Como f é par, vale
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 2 \times \tfrac12 = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados