Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se 1.000 fileiras de bactérias na cultura; e após quatro horas, 3.000 fileiras. Determine: (a) a expressão do número aproximado
de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante
e (b) o número aproximado
de fileiras de bactérias no início da cultura.
Passo 1
O enunciado descreve um crescimento exponencial, pois a taxa de variação é proporcional à quantidade presente. Modelamos por
cuja solução geral é
onde
é a taxa de crescimento e
é o número de fileiras no instante
. Vamos usar os dados
e
para encontrar
e
.
Passo 2
Para achar
, fazemos o quociente entre
e
:
Logo,
Passo 3
Com
em mãos, usamos
para determinar
:
Passo 4
Agora substituímos
e
na solução geral:
ou, de forma exata,
Resposta
(a)
(b) fileiras.
(b)