Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se 1.000 fileiras de bactérias na cultura; e após quatro horas, 3.000 fileiras. Determine: (a) a expressão do número aproximado N(t) de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante t e (b) o número aproximado N_{0} de fileiras de bactérias no início da cultura.

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento exponencial, pois a taxa de variação é proporcional à quantidade presente. Modelamos por
\frac{dN}{dt}=k\,N,
cuja solução geral é
N(t)=N_{0}\,e^{k\,t},
onde k é a taxa de crescimento e N_{0} é o número de fileiras no instante t=0. Vamos usar os dados N(1)=1000 e N(4)=3000 para encontrar k e N_{0}.

Passo 2

Para achar k, fazemos o quociente entre N(4) e N(1):
\frac{N(4)}{N(1)} =\frac{N_{0}e^{4k}}{N_{0}e^{k}} =e^{3k} =\frac{3000}{1000} =3.
Logo,
e^{3k}=3 \quad\Longrightarrow\quad 3k=\ln(3) \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{3}\ln(3)\approx0{,}3662.

Passo 3

Com k em mãos, usamos N(1)=1000 para determinar N_{0}:
1000=N_{0}e^{k} \quad\Longrightarrow\quad N_{0}=1000\,e^{-k} =1000\,e^{-\frac{1}{3}\ln(3)} =1000\,3^{-\frac{1}{3}} \approx693{,}4.

Passo 4

Agora substituímos k e N_{0} na solução geral:
N(t) =693{,}4\;e^{0{,}3662\,t} \;\text{(aproximado)},
ou, de forma exata,
N(t) =\bigl(1000\,3^{-\frac{1}{3}}\bigr)\,e^{\frac{\ln(3)}{3}\,t} =1000\,3^{\frac{t-1}{3}}.

Resposta

(a) N(t)\approx693{,}4\,e^{0{,}3662\,t}.
(b) N_{0}\approx693{,}4 fileiras.

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