Seja
uma função de uma variável com valores em
e seja
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma função
de uma variável real com valores em . - Um ponto
.
O que se pede: mostrar a equivalência
Vou trabalhar diretamente com as definições de limite (forma
-
).
Passo 2
Definições que usarei (forma
-
, escrita de maneira explícita):
- A afirmação
significa:
- A afirmação
significa:
ou seja,
Repare que, por escrito, as duas definições envolvem a mesma condição
. Vou provar as duas implicações de forma clara.
Passo 3
Prova da implicação
.
Se
, então pela definição: para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
Mas isso é exatamente a condição necessária para afirmar que a função real
tende a
quando
. Portanto
.
Comentário didático: aqui não é preciso nenhuma desigualdade extra — a definição de limite vetorial usa a norma
como medida da distância, então a mesma
-condição já garante que a norma tende a zero.
Passo 4
Prova da implicação
.
Se
, então por definição: para todo
existe
tal que, se
, então
Mas essa condição é precisamente a condição de
-
para a afirmação
(porque a definição de limite em
pede exatamente que a norma da diferença seja menor que
). Logo
.
Comentário didático adicional (opcional, para intuição): escrevendo
e
, tem-se para cada coordenada
porque, no caso da norma euclidiana,
implica
. Assim, se
então cada coordenada
, o que também mostra que
. Essa observação é só para conectar com a ideia de convergência coordenada — a prova
-
acima já é suficiente.
Passo 5
Conclusão: as duas condições são equivalentes porque ambas são expressões da mesma
-condição
(a norma mede a distância em
). Portanto a equivalência está provada.