Seja F uma função de uma variável com valores em \mathbb{R}^{n} e seja L \in \mathbb{R}^{n}. Mostre que
\lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t)=L \Longleftrightarrow \lim _{t \rightarrow t_{0}}\|F(t)-L\|=0 .

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função F de uma variável real com valores em \mathbb{R}^{n}.
  • Um ponto L\in\mathbb{R}^{n}.
    O que se pede: mostrar a equivalência
\lim_{t\to t_{0}}F(t)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{t\to t_{0}}\|F(t)-L\|=0.
Vou trabalhar diretamente com as definições de limite (forma \varepsilon- \delta).

Passo 2

Definições que usarei (forma \varepsilon- \delta, escrita de maneira explícita):
  • A afirmação \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}F(t)=L significa:
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|t-t_{0}|<\delta \Rightarrow \|F(t)-L\|<\varepsilon.
  • A afirmação \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}\|F(t)-L\|=0 significa:
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|t-t_{0}|<\delta \Rightarrow |\|F(t)-L\|-0|<\varepsilon,
ou seja,
0<|t-t_{0}|<\delta \Rightarrow \|F(t)-L\|<\varepsilon.
Repare que, por escrito, as duas definições envolvem a mesma condição \|F(t)-L\|<\varepsilon. Vou provar as duas implicações de forma clara.

Passo 3

Prova da implicação \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}F(t)=L \Rightarrow \lim_{t\to t_{0}}\|F(t)-L\|=0.
Se \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}F(t)=L, então pela definição: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|t-t_{0}|<\delta, vale
\|F(t)-L\|<\varepsilon.
Mas isso é exatamente a condição necessária para afirmar que a função real t\mapsto \|F(t)-L\| tende a 0 quando t\to t_{0}. Portanto \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}\|F(t)-L\|=0.
Comentário didático: aqui não é preciso nenhuma desigualdade extra — a definição de limite vetorial usa a norma \|\cdot\| como medida da distância, então a mesma \varepsilon-condição já garante que a norma tende a zero.

Passo 4

Prova da implicação \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}\|F(t)-L\|=0 \Rightarrow \lim_{t\to t_{0}}F(t)=L.
Se \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}\|F(t)-L\|=0, então por definição: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|t-t_{0}|<\delta, então
\|F(t)-L\|<\varepsilon.
Mas essa condição é precisamente a condição de \varepsilon- \delta para a afirmação \lim_{t\to t_{0}}F(t)=L (porque a definição de limite em \mathbb{R}^n pede exatamente que a norma da diferença seja menor que \varepsilon). Logo \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}F(t)=L.
Comentário didático adicional (opcional, para intuição): escrevendo F=(F_{1},\dots,F_{n}) e L=(L_{1},\dots,L_{n}), tem-se para cada coordenada
|F_{i}(t)-L_{i}|\le \|F(t)-L\|,
porque, no caso da norma euclidiana, \|v\|^{2}=\sum_{j=1}^{n}v_{j}^{2} implica v_{i}^{2}\le\sum_{j}v_{j}^{2}. Assim, se \|F(t)-L\|\to 0 então cada coordenada F_{i}(t)\to L_{i}, o que também mostra que F(t)\to L. Essa observação é só para conectar com a ideia de convergência coordenada — a prova \varepsilon- \delta acima já é suficiente.

Passo 5

Conclusão: as duas condições são equivalentes porque ambas são expressões da mesma \varepsilon-condição \|F(t)-L\|<\varepsilon (a norma mede a distância em \mathbb{R}^{n}). Portanto a equivalência está provada.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to t_{0}}F(t)=L \Longleftrightarrow \lim_{t\to t_{0}}\|F(t)-L\|=0

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