Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da curva parametrizada por
. As informações que temos são:
- A função vetorial é
dada por . - O parâmetro
não teve restrição no enunciado, então ele varia em .
A pergunta é: como é o gráfico dessa curva no espaço e qual a sua aparência (forma, orientação, pontos notáveis, período etc.)?
Passo 2
Interpretação das componentes: escrevendo a componente a componente,
Vai ser útil perceber consequências imediatas:
- Como
para todo , a curva está toda contida no plano vertical . - Portanto podemos estudar a curva olhando apenas para as coordenadas
nesse plano.
Passo 3
Eliminar o parâmetro para ver a relação entre
e
. Da terceira componente temos
. Substituindo na segunda componente:
Logo a curva é exatamente o conjunto de pontos
tais que
com
. Em palavras: é o gráfico da função
dentro do plano
.
Passo 4
Características da onda senoidal em termos de amplitude e período:
- Amplitude: como
, a amplitude é . Então oscila entre e . - Período em
: a função tem período em . - Período em
: como , um incremento de de corresponde a um incremento em de . Assim o período em é .
Portanto, à medida que avançamos em, a senoide repete a cada .
Passo 5
Pontes e pontos notáveis para desenhar (calculei substituindo valores de
):
Esses pontos mostram claramente a oscilação em
(entre
) e o avanço linear em
(saltos de
).
Passo 6
Orientação e tangente: derivando
obtemos
Isto nos diz:
- A componente
da derivada é , então cresce sempre com . Ou seja, conforme aumenta, percorremos a curva no sentido de crescente (movimento “para cima” no eixo ). - A componente
muda como , causando as subidas e descidas em . A combinação dá uma onda que sobe (em ) enquanto oscila (em ).
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo que pode usar na prova):
- Desenhe o plano vertical
ou simplesmente escolha uma reta paralela ao eixo e marque um eixo perpendicular dentro desse plano. - No plano
, trace a função : amplitude , zeros em (porque quando ), máximos em (valores ) e mínimos em (valores ). - Marque os pontos do Passo 5 e ligue-os por uma curva suave oscilante. Indique uma seta no sentido de
crescente para mostrar a orientação (seta apontando para cima). - Observe que a curva se estende para
, repetindo a oscilação com passo vertical .
Passo 8
Resumo geométric0 e intuitivo (para gravar na cabeça): a curva é uma senoide vertical localizada no plano
: imagine uma corda com forma de onda presa num plano vertical e esticada ao longo do eixo
; essa corda não dá voltas em torno de um eixo (não é uma hélice espacial), apenas oscila lateralmente em
enquanto sobe continuamente em
.
Resposta
A curva está contida no plano
e é dada por
. É uma senoide com amplitude
, período em
igual a
, orientada no sentido de
crescente (à medida que
aumenta, a curva sobe), e passa por pontos notáveis como
,
,
,
,
.