- Seja
tal que
, para todo
.
(a) Mostre que a função
é constante.
(b) Conclua do item anterior que existe
tal que
para todo
.
(c) Conclua do item anterior que existe
tal que
para todo
.
-
Se
e
são contínuas, então
.
(a) Mostre que a função
(b) Conclua do item anterior que existe
para todo
Se e são contínuas, então .
Passo 1
O enunciado afirma que
é inteira e satisfaz
para todo
. Queremos usar cálculo de derivadas em funções inteiras para mostrar:
– (a) é constante;
– (b) daí existe tal que
;
– (c) então .
– (a)
– (b) daí existe
– (c) então
Passo 2
Definimos
Para ver que
é constante, calculamos
Como
e
, segue
Logo
e
para todo
.
Passo 3
Da igualdade
tiramos
Agora consideramos a função
e queremos escolher
para ter
. Calculando
Para anular isso em todo
, tomamos
Assim
, como pedido.
Passo 4
Como
, segue que
é constante. Chamemos essa constante de
:
Daí
logo
Resposta
com
.