- Seja
tal que
, para todo
.
(a) Mostre que a função
é constante.
(b) Conclua do item anterior que existe
tal que
para todo
.
(c) Conclua do item anterior que existe
tal que
para todo
.
(a) Mostre que a função
(b) Conclua do item anterior que existe
(c) Conclua do item anterior que existe
Passo 1
O enunciado diz que
é uma função toda (holomorfa em
) que satisfaz a equação diferencial
para todo
.
Precisaremos usar regra do produto e a própria equação diferencial para:
Precisaremos usar regra do produto e a própria equação diferencial para:
- Mostrar que
é constante.
2. A partir daí definir como essa constante e provar que
2. A partir daí definir
- Concluir que então existe
tal que
Passo 2
Calculamos
usando regra do produto em cada termo:
Mas como
, segue que
. Portanto
o que mostra que
é constante.
Passo 3
Seja
essa constante, ou seja
Defina
válido em
. Calculamos
Logo
em todo
.
Passo 4
Como
,
é constante. Seja essa constante
. Então
Resposta
(a) Ao derivar
e usar
, obtemos
, logo
é constante.
(b) Definindo
, mostra-se que
em
.
(c) Como o quociente acima é constante, existe
tal que
para todo
.