1. Seja f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} tal que f^{\prime \prime}(z)=-f(z), para todo z \in \mathbb{C}.
    (a) Mostre que a função g(z)=f(z) \cos z-f^{\prime}(z) \sin z é constante.
    (b) Conclua do item anterior que existe \alpha \in \mathbb{C} tal que
\frac{d}{d z}\left[\frac{f(z)-\alpha \cos z}{\sin z}\right]=0
para todo z \in \mathbb{C}-\{k \pi ; k \in \mathbb{Z}\}.
(c) Conclua do item anterior que existe \beta \in \mathbb{C} tal que
f(z)=\alpha \cos z+\beta \sin z
para todo z \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado diz que f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é uma função toda (holomorfa em \mathbb{C}) que satisfaz a equação diferencial
f''(z)=-f(z)
para todo z\in\mathbb{C}.
Precisaremos usar regra do produto e a própria equação diferencial para:
  1. Mostrar que
g(z)=f(z)\cos z - f'(z)\sin z
é constante.
2. A partir daí definir \alpha como essa constante e provar que
\frac{d}{dz}\Bigl[\frac{f(z)-\alpha\cos z}{\sin z}\Bigr]=0.
  1. Concluir que então existe \beta tal que
f(z)=\alpha\cos z + \beta\sin z.

Passo 2

Calculamos g'(z) usando regra do produto em cada termo:
\begin{aligned} g'(z) &=\frac{d}{dz}\bigl[f(z)\cos z\bigr] -\frac{d}{dz}\bigl[f'(z)\sin z\bigr]\\\ &=\bigl(f'(z)\cos z - f(z)\sin z\bigr) -\bigl(f''(z)\sin z + f'(z)\cos z\bigr)\\\ &=f'(z)\cos z - f(z)\sin z - f''(z)\sin z - f'(z)\cos z\\\ &=-\bigl(f(z)+f''(z)\bigr)\sin z. \end{aligned}
Mas como f''(z)=-f(z), segue que f(z)+f''(z)=0. Portanto
g'(z)=0\quad\forall z\in\mathbb{C},
o que mostra que g é constante.

Passo 3

Seja \alpha\in\mathbb{C} essa constante, ou seja
f(z)\cos z - f'(z)\sin z = \alpha.
Defina
h(z)=\frac{f(z)-\alpha\cos z}{\sin z},
válido em \mathbb{C}\setminus\{k\pi:k\in\mathbb{Z}\}. Calculamos
\begin{aligned} h'(z) &=\frac{\bigl(f'(z)+\alpha\sin z\bigr)\sin z - \bigl(f(z)-\alpha\cos z\bigr)\cos z}{\sin^2 z}\\\ &=\frac{f'(z)\sin z + \alpha\sin^2 z - f(z)\cos z + \alpha\cos^2 z}{\sin^2 z}\\\ &=\frac{\bigl(f'(z)\sin z - f(z)\cos z\bigr)+\alpha(\sin^2 z+\cos^2 z)}{\sin^2 z}\\\ &=\frac{\bigl[-\bigl(f(z)\cos z - f'(z)\sin z\bigr)\bigr]+\alpha}{\sin^2 z} =\frac{-\alpha+\alpha}{\sin^2 z}=0. \end{aligned}
Logo h'(z)=0 em todo \mathbb{C}\setminus\{k\pi\}.

Passo 4

Como h'(z)=0, h é constante. Seja essa constante \beta\in\mathbb{C}. Então
\frac{f(z)-\alpha\cos z}{\sin z}=\beta \quad\Longrightarrow\quad f(z)-\alpha\cos z=\beta\sin z \quad\Longrightarrow\quad f(z)=\alpha\cos z+\beta\sin z.

Resposta

(a) Ao derivar g(z)=f(z)\cos z - f'(z)\sin z e usar f''(z)=-f(z), obtemos g'(z)=0, logo g é constante.
(b) Definindo \alpha=g(z), mostra-se que
\frac{d}{dz}\Bigl[\frac{f(z)-\alpha\cos z}{\sin z}\Bigr]=0
em \mathbb{C}\setminus\{k\pi\}.
(c) Como o quociente acima é constante, existe \beta\in\mathbb{C} tal que
f(z)=\alpha\cos z+\beta\sin z
para todo z\in\mathbb{C}.

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