Seja
uma função tal que
. Encontre o dominío, o contradomínio e a imagem de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. As perguntas são:
- Determinar o domínio de
. - Determinar o contradomínio (codomain) de
. - Determinar a imagem (image) de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A definição explícita da função:
. - O enunciado já indica o domínio e o contradomínio como sendo
.
Passo 2
O que é domínio e qual é aqui. Definição: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (os
) para os quais a função está definida. No enunciado está escrito
, ou seja, a função está definida para todo
. Portanto o domínio é exatamente o conjunto que foi dado no enunciado.
Conclusão deste passo:
Passo 3
O que é contradomínio e qual é aqui. Definição: o contradomínio (codomain) é o conjunto que o enunciado declara como possíveis valores de saída — nem sempre todos os seus elementos são realmente atingidos pela função, mas é o conjunto “alvo” da função. No enunciado foi explicitado
, portanto o contradomínio é o conjunto
conforme declarado.
Conclusão deste passo:
Passo 4
O que é imagem (image) e como calcular aqui. Definição: a imagem de
, denotada
ou
, é o conjunto de todos os valores reais de saída que a função assume quando a entrada percorre todo o domínio. Em símbolos:
Aplicando à nossa função
, obtemos:
Passo 5
Exemplos concretos para entender a imagem (mostra alguns elementos). Dependendo da convenção para
(algumas fontes incluem o
, outras não), os primeiros valores são:
- Se
, então
logo
- Se
, então
logo
Em qualquer caso a forma compacta e correta da imagem é
. Observe que essa imagem é um subconjunto infinito e próprio do contradomínio
(nem todo natural é potência de
).
Resposta
Domínio:
Contradomínio:
Imagem:
Contradomínio:
Imagem: