Seja f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} uma função tal que f(n)=3^{n}. Encontre o dominío, o contradomínio e a imagem de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} definida por f(n)=3^{n}. As perguntas são:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar o contradomínio (codomain) de f.
  • Determinar a imagem (image) de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita da função: f(n)=3^{n}.
  • O enunciado já indica o domínio e o contradomínio como sendo \mathbb{N}.

Passo 2

O que é domínio e qual é aqui. Definição: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (os n) para os quais a função está definida. No enunciado está escrito f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, ou seja, a função está definida para todo n\in\mathbb{N}. Portanto o domínio é exatamente o conjunto que foi dado no enunciado.
Conclusão deste passo:
\text{Domínio}=\mathbb{N}.í

Passo 3

O que é contradomínio e qual é aqui. Definição: o contradomínio (codomain) é o conjunto que o enunciado declara como possíveis valores de saída — nem sempre todos os seus elementos são realmente atingidos pela função, mas é o conjunto “alvo” da função. No enunciado foi explicitado f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, portanto o contradomínio é o conjunto \mathbb{N} conforme declarado.
Conclusão deste passo:
\text{Contradomínio}=\mathbb{N}.í

Passo 4

O que é imagem (image) e como calcular aqui. Definição: a imagem de f, denotada \operatorname{Im}(f) ou f(\mathbb{N}), é o conjunto de todos os valores reais de saída que a função assume quando a entrada percorre todo o domínio. Em símbolos:
\operatorname{Im}(f)=\{\,f(n)\mid n\in\mathbb{N}\,\}.
Aplicando à nossa função f(n)=3^{n}, obtemos:
\operatorname{Im}(f)=\{\,3^{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\}.

Passo 5

Exemplos concretos para entender a imagem (mostra alguns elementos). Dependendo da convenção para \mathbb{N} (algumas fontes incluem o 0, outras não), os primeiros valores são:
  • Se \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, então
f(0)=3^{0}=1,\quad f(1)=3^{1}=3,\quad f(2)=3^{2}=9,\quad f(3)=27,\dots
logo
\operatorname{Im}(f)=\{1,3,9,27,\dots\}=\{\,3^{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\}.
  • Se \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, então
f(1)=3,\quad f(2)=9,\quad f(3)=27,\dots
logo
\operatorname{Im}(f)=\{3,9,27,\dots\}=\{\,3^{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\}.
Em qualquer caso a forma compacta e correta da imagem é \{\,3^{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\}. Observe que essa imagem é um subconjunto infinito e próprio do contradomínio \mathbb{N} (nem todo natural é potência de 3).

Resposta

Domínio: \mathbb{N}
Contradomínio: \mathbb{N}
Imagem: \{\,3^{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\}

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