O enunciado nos dá a função definida em \mathbb{R}\setminus\{5/7\}:
f(x)=\frac{7x-5}{|5-7x|}
As tarefas pedidas são:
Esboçar o gráfico de f.
Calcular \displaystyle \lim_{x\to 5/7^{+}} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to 5/7^{-}} f(x).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x) e que o ponto x=5/7 está fora do domínio.
Passo 2
Entender o valor do módulo (valor absoluto) é a chave. Lembre que, para qualquer número real y\),
\[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui temos y=5-7x\]. Então precisamos saber onde \(5-7x é não-negativo ou negativo. Isso depende de x.]
Passo 3
Resolver a desigualdade 5-7x\ge 0. Fazendo as contas:
(Lembrar: (x=\dfrac{5}{7}] está fora do domínio, então não há definição nesse ponto.)]
Passo 5
Com a forma peça fica fácil entender os limites laterais.
Definição rápida que estamos usando: a limite à esquerda \lim_{x\to a^-} f(x) é o valor que f(x) toma quando x se aproxima de a vindo de valores menores que a. Similar para a direita \lim_{x\to a^+} f(x).
Aqui, quando x\to \dfrac{5}{7}^{-} (pela esquerda) estamos no caso x<\dfrac{5}{7}, então f(x)=-1 para x suficientemente próximo à esquerda. Logo
\lim_{x\to 5/7^{-}} f(x) = -1.
Quando x\to \dfrac{5}{7}^{+} (pela direita) estamos no caso x>\dfrac{5}{7}, então f(x)=1 para x suficientemente próximo à direita. Logo
\lim_{x\to 5/7^{+}} f(x) = 1.
Passo 6
Esboço do gráfico (descrição para desenhar à mão):
Para x<\dfrac{5}{7} a função é a reta horizontal y=-1. Desenhe a linha y=-1 com um círculo aberto em x=\dfrac{5}{7} (pois o ponto não pertence ao domínio).
Para x>\dfrac{5}{7} a função é a reta horizontal y=1. Desenhe a linha y=1 com um círculo aberto em x=\dfrac{5}{7}.
Não há valores entre -1 e 1; a função tem uma descontinuidade do tipo salto (jump) em x=\dfrac{5}{7}.
Dica prática para a prova: sempre que aparecer um módulo com uma expressão linear, identifique onde o argumento do módulo muda de sinal; isso divide o domínio em dois (ou mais) pedaços onde dá para remover o módulo com sinal conhecido e simplificar a expressão.