Seja f: \mathbb{R} \backslash\{5 / 7\} \rightarrow \mathbb{R} tal que
f(x)=\frac{7 x-5}{|5-7 x|}
Esboce o gráfico de f e calcule
\lim _{x \rightarrow 5 / 7^{+}} f(x) \text { e } \lim _{x \rightarrow 5 / 7^{-}} f(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida em \mathbb{R}\setminus\{5/7\}:
f(x)=\frac{7x-5}{|5-7x|}
As tarefas pedidas são:
  • Esboçar o gráfico de f.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 5/7^{+}} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to 5/7^{-}} f(x).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x) e que o ponto x=5/7 está fora do domínio.

Passo 2

Entender o valor do módulo (valor absoluto) é a chave. Lembre que, para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui temos y=5-7x\]. Então precisamos saber onde \(5-7x é não-negativo ou negativo. Isso depende de x.]

Passo 3

Resolver a desigualdade 5-7x\ge 0. Fazendo as contas:
5-7x\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -7x\ge -5 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le \frac{5}{7}.
Portanto:
  • Se x\le \dfrac{5}{7} então |5-7x|=5-7x.
  • Se x>\dfrac{5}{7} então |5-7x|=-(5-7x)=7x-5.

Passo 4

Agora simplificamos [f(x)) em cada intervalo (lembrando que x=5/7 não pertence ao domínio).
Caso 1: x<\dfrac{5}{7}. Então |5-7x|=5-7x. Assim
f(x)=\frac{7x-5}{5-7x}.
Observe que 7x-5=-(5-7x). Substituindo:
f(x)=\frac{-(5-7x)}{5-7x}=-1.
Portanto, para todo x<\dfrac{5}{7} temos f(x)=-1.
Caso 2: x>\dfrac{5}{7}. Então |5-7x|=7x-5. Assim
f(x)=\frac{7x-5}{7x-5}=1.
Portanto, para todo x>\dfrac{5}{7} temos f(x)=1.
Resumindo em forma de peça:
f(x)= \begin{cases} -1, & x<\dfrac{5}{7},\\[4pt] 1, & x>\dfrac{5}{7}. \end{cases}
(Lembrar: (x=\dfrac{5}{7}] está fora do domínio, então não há definição nesse ponto.)]

Passo 5

Com a forma peça fica fácil entender os limites laterais.
Definição rápida que estamos usando: a limite à esquerda \lim_{x\to a^-} f(x) é o valor que f(x) toma quando x se aproxima de a vindo de valores menores que a. Similar para a direita \lim_{x\to a^+} f(x).
Aqui, quando x\to \dfrac{5}{7}^{-} (pela esquerda) estamos no caso x<\dfrac{5}{7}, então f(x)=-1 para x suficientemente próximo à esquerda. Logo
\lim_{x\to 5/7^{-}} f(x) = -1.
Quando x\to \dfrac{5}{7}^{+} (pela direita) estamos no caso x>\dfrac{5}{7}, então f(x)=1 para x suficientemente próximo à direita. Logo
\lim_{x\to 5/7^{+}} f(x) = 1.

Passo 6

Esboço do gráfico (descrição para desenhar à mão):
  • Para x<\dfrac{5}{7} a função é a reta horizontal y=-1. Desenhe a linha y=-1 com um círculo aberto em x=\dfrac{5}{7} (pois o ponto não pertence ao domínio).
  • Para x>\dfrac{5}{7} a função é a reta horizontal y=1. Desenhe a linha y=1 com um círculo aberto em x=\dfrac{5}{7}.
  • Não há valores entre -1 e 1; a função tem uma descontinuidade do tipo salto (jump) em x=\dfrac{5}{7}.
Dica prática para a prova: sempre que aparecer um módulo com uma expressão linear, identifique onde o argumento do módulo muda de sinal; isso divide o domínio em dois (ou mais) pedaços onde dá para remover o módulo com sinal conhecido e simplificar a expressão.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 5/7^{+}} f(x)=1
\displaystyle \lim_{x\to 5/7^{-}} f(x)=-1

Exercícios relacionados