\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(10 x)}{x},

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{\operatorname{sen}(10x)}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{\operatorname{sen}(10x)}{x}.
  • O ponto onde o limite é avaliado é x\to 0.
  • Não há outras condições ou imagens.

Passo 2

Um resultado fundamental que vamos usar (e que preciso provar para você entender) é
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Vou provar isso de forma clássica usando desigualdades geométricas e o Teorema do Sanduíche (Squeeze Theorem).
Considere u real com 0<u<\tfrac{\pi}{2}. Na circunferência trigonométrica pode-se mostrar a desigualdade
\sin u < u < \tan u.
Explicando essa desigualdade de maneira intuitiva: desenhando o setor circular de ângulo u, a altura do setor (que é \sin u) é menor que o comprimento do arco (que é u quando o raio vale 1), e esse arco é menor que a altura do triângulo reto que tem tangente \tan u. Essas relações são válidas para 0<u<\tfrac{\pi}{2}.
A partir de \sin u < u < \tan u dividimos toda a desigualdade por \sin u>0, obtendo
1 < \frac{u}{\sin u} < \frac{1}{\cos u}.
Agora tomamos recíprocos (todos os termos são positivos, então a desigualdade inverte) e obtemos
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Como u\to 0 temos \cos u \to 1. Então as duas funções que envolvem \dfrac{\sin u}{u} tendem para 1 pelos lados:
\lim_{u\to 0^+}\cos u = 1 \quad\text{e}\quad 1\to 1.
Pelo Teorema do Sanduíche segue
\lim_{u\to 0^+}\frac{\sin u}{u}=1.
Para u\to 0^- a função \dfrac{\sin u}{u} é par (isto é, \dfrac{\sin(-u)}{-u}=\dfrac{\sin u}{u}), logo o limite pela esquerda também é 1. Concluímos
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 3

Voltemos ao nosso limite original. Faço a substituição comum u=10x. Então quando x\to 0 temos u\to 0. Reescrevendo:
\frac{\sin(10x)}{x}=\frac{\sin u}{x}.
Como u=10x segue x=\dfrac{u}{10}. Substituindo:
\frac{\sin(10x)}{x}=\frac{\sin u}{u/10}=10\cdot\frac{\sin u}{u}.

Passo 4

Agora passo ao limite usando o resultado do Passo 2:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(10x)}{x} = \lim_{u\to 0} 10\cdot\frac{\sin u}{u} =10\cdot\left(\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\right) =10\cdot 1=10.

Passo 5

Interpretação rápida e intuição: para ângulos pequenos vale a aproximação \sin \theta \approx \theta. Assim \sin(10x)\approx 10x, e \dfrac{\sin(10x)}{x}\approx \dfrac{10x}{x}=10. A demonstração rigorosa foi feita acima.

Resposta

10

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