Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto onde o limite é avaliado é
. - Não há outras condições ou imagens.
Passo 2
Um resultado fundamental que vamos usar (e que preciso provar para você entender) é
Vou provar isso de forma clássica usando desigualdades geométricas e o Teorema do Sanduíche (Squeeze Theorem).
Considere
real com
. Na circunferência trigonométrica pode-se mostrar a desigualdade
Explicando essa desigualdade de maneira intuitiva: desenhando o setor circular de ângulo
, a altura do setor (que é
) é menor que o comprimento do arco (que é
quando o raio vale
), e esse arco é menor que a altura do triângulo reto que tem tangente
. Essas relações são válidas para
.
A partir de
dividimos toda a desigualdade por
, obtendo
Agora tomamos recíprocos (todos os termos são positivos, então a desigualdade inverte) e obtemos
Como
temos
. Então as duas funções que envolvem
tendem para
pelos lados:
Pelo Teorema do Sanduíche segue
Para
a função
é par (isto é,
), logo o limite pela esquerda também é
. Concluímos
Passo 3
Voltemos ao nosso limite original. Faço a substituição comum
. Então quando
temos
. Reescrevendo:
Como
segue
. Substituindo:
Passo 4
Agora passo ao limite usando o resultado do Passo 2:
Passo 5
Interpretação rápida e intuição: para ângulos pequenos vale a aproximação
. Assim
, e
. A demonstração rigorosa foi feita acima.