Seja
diferenciável tal que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
é diferenciável e que, para todo
,
O que pede: mostrar que
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: é uma parametrização do ponto
em termos de
; em particular, para
temos
. A função
é diferenciável (isso permitirá aplicar a regra da cadeia).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Defino a função composta univariante
por
Pelo enunciado sabemos que, para todo
,
A ideia é derivar essa igualdade em relação a
e comparar as duas formas de obter
: uma vindo da forma explícita
e outra usando a regra da cadeia para a composição
.
Passo 3
Explico a regra da cadeia neste contexto de uma forma didática. Como
é diferenciável, existe o vetor gradiente
onde
e
são as derivadas parciais de
. A composição
com
tem derivada dada pela regra da cadeia vetorial:
Aqui o produto
é o produto escalar: se
e
então
. Isso é consequência da linearização/definição de diferenciabilidade: a variação de
é bem aproximada pela aplicação linear dada pelo gradiente, e ao compor com
obtemos o produto escalar com a derivada de
.
Passo 4
Calculo
. Para
temos
Aplicando a fórmula do passo anterior obtemos
Passo 5
Agora derivo diretamente a expressão conhecida de
. Como
, sua derivada é
Em particular, em
temos
.
Passo 6
Avalio a expressão obtida pela regra da cadeia em
. Substituindo
em
dá
Mas do passo anterior sabemos que
. Logo
Dividindo por
segue
ou seja