Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável tal que f\left(t^{2}, 2 t\right)=t^{3}-3 t. Mostre que f_{x}(1,2)=-f_{y}(1,2).

Passo 1

O enunciado dá que f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável e que, para todo t\in\mathbb{R},
f\bigl(t^2,2t\bigr)=t^3-3t.
O que pede: mostrar que f_{x}(1,2)=-f_{y}(1,2).
Informações relevantes extraídas do enunciado: \bigl(t^2,2t\bigr) é uma parametrização do ponto (x,y) em termos de t; em particular, para t=1 temos \bigl(1^2,2\cdot1\bigr)=(1,2). A função f é diferenciável (isso permitirá aplicar a regra da cadeia).

Passo 2

Defino a função composta univariante g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
g(t)=f\bigl(t^2,2t\bigr).
Pelo enunciado sabemos que, para todo t,
g(t)=t^3-3t.
A ideia é derivar essa igualdade em relação a t e comparar as duas formas de obter g'(t): uma vindo da forma explícita t^3-3t e outra usando a regra da cadeia para a composição f(t^2,2t).

Passo 3

Explico a regra da cadeia neste contexto de uma forma didática. Como f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável, existe o vetor gradiente
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. A composição g(t)=f(h(t)) com h(t)=(t^2,2t) tem derivada dada pela regra da cadeia vetorial:
g'(t)=\nabla f\bigl(h(t)\bigr)\cdot h'(t).
Aqui o produto \cdot é o produto escalar: se \nabla f=(f_x,f_y) e h'=(h_1',h_2') então \nabla f\cdot h' = f_x h_1' + f_y h_2'. Isso é consequência da linearização/definição de diferenciabilidade: a variação de f é bem aproximada pela aplicação linear dada pelo gradiente, e ao compor com h obtemos o produto escalar com a derivada de h.

Passo 4

Calculo h'(t). Para h(t)=(t^2,2t) temos
h'(t)=\bigl(2t,\,2\bigr).
Aplicando a fórmula do passo anterior obtemos
g'(t)=f_x\bigl(t^2,2t\bigr)\cdot 2t + f_y\bigl(t^2,2t\bigr)\cdot 2.

Passo 5

Agora derivo diretamente a expressão conhecida de g. Como g(t)=t^3-3t, sua derivada é
g'(t)=3t^2-3.
Em particular, em t=1 temos g'(1)=3\cdot1^2-3=0.

Passo 6

Avalio a expressão obtida pela regra da cadeia em t=1. Substituindo t=1 em
g'(t)=2t\,f_x\bigl(t^2,2t\bigr) + 2\,f_y\bigl(t^2,2t\bigr)
g'(1)=2\cdot1\cdot f_x(1,2) + 2\cdot f_y(1,2)=2f_x(1,2)+2f_y(1,2).
Mas do passo anterior sabemos que g'(1)=0. Logo
2f_x(1,2)+2f_y(1,2)=0.
Dividindo por 2 segue
f_x(1,2)+f_y(1,2)=0,
ou seja
f_x(1,2)=-f_y(1,2).

Resposta

f_x(1,2)=-f_y(1,2)

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