Encontre máximo e mínimo de f=x+y+z com restrições x^{2}+y^{2}=2 e x+z=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo da função objetivo \;f=x+y+z\; sob as restrições
x^{2}+y^{2}=2
e
x+z=1.
Informações dadas:
  • restrição 1: \;x^{2}+y^{2}=2\; (um círculo no plano xy);
  • restrição 2: \;x+z=1\; (uma relação linear entre x e z);
  • objetivo: determinar os valores máximo e mínimo de \;f=x+y+z\; compatíveis com essas restrições (e, se quiser, os pontos onde isso ocorre).

Passo 2

Usamos a restrição linear para eliminar uma variável de maneira direta (isso simplifica muito). A restrição \;x+z=1\; implica
z=1-x.
Explicação didática: sempre que uma restrição é uma equação linear que envolve apenas duas variáveis, podemos isolá‑la para substituir na função objetivo — isso reduz o número de variáveis que precisamos considerar.

Passo 3

Substituímos \;z=1-x\; na função objetivo \;f=x+y+z\;. Fazendo a substituição temos
f=x+y+(1-x)=1+y.
Ou seja, após usar a segunda restrição, a função que precisamos otimizar depende apenas de \;y\;: \;f(y)=1+y\;.

Passo 4

Agora restou apenas a restrição circular \;x^{2}+y^{2}=2\;. Precisamos encontrar os possíveis valores de \;y\; que satisfazem essa equação. Da restrição segue
y^{2}=2-x^{2}.
Como x^{2}\ge 0, temos y^{2}\le 2, portanto
|y|\le \sqrt{2}.
Explicação didática: geometricamente, \;x^{2}+y^{2}=2\; é um círculo de raio \sqrt{2} centrado na origem; a coordenada y ao longo desse círculo atinge o máximo \sqrt{2} e o mínimo -\sqrt{2}. Algebricamente, vimos isso pela desigualdade acima.

Passo 5

Como \;f(y)=1+y\;, maximizar f é o mesmo que maximizar y, e minimizar f é o mesmo que minimizar y.
  • O máximo possível de y na restrição é \;y=\sqrt{2}\;. Substituindo em \;x^{2}+y^{2}=2\; obtemos \;x^{2}=2-y^{2}=2-2=0\;, logo \;x=0\;. Pelo isolamento anterior \;z=1-x\; segue \;z=1. Assim o ponto onde ocorre o máximo é \;(x,y,z)=(0,\sqrt{2},1).
  • O mínimo possível de y é \;y=-\sqrt{2}\;. Análogo, \;x^{2}=0\Rightarrow x=0\; e \;z=1\;. Assim o ponto do mínimo é \;(x,y,z)=(0,-\sqrt{2},1).

Passo 6

Calculamos os valores de f nesses pontos usando \;f=1+y\;:
  • No máximo: y=\sqrt{2} \;f_{\max}=1+\sqrt{2}\;.
  • No mínimo: y=-\sqrt{2} \;f_{\min}=1-\sqrt{2}\;.
Você conseguiu — reduzimos o problema limpando uma variável e usando a geometria do círculo para achar os extremos de maneira simples.

Resposta

Máximo: \;f_{\max}=1+\sqrt{2}\; em \;(x,y,z)=(0,\sqrt{2},1).\nMínimo: \;f_{\min}=1-\sqrt{2}\; em \;(x,y,z)=(0,-\sqrt{2},1).

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