Encontre máximo e mínimo de
com restrições
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo da função objetivo
sob as restrições
e
Informações dadas:
- restrição 1:
(um círculo no plano ); - restrição 2:
(uma relação linear entre e ); - objetivo: determinar os valores máximo e mínimo de
compatíveis com essas restrições (e, se quiser, os pontos onde isso ocorre).
Passo 2
Usamos a restrição linear para eliminar uma variável de maneira direta (isso simplifica muito). A restrição
implica
Explicação didática: sempre que uma restrição é uma equação linear que envolve apenas duas variáveis, podemos isolá‑la para substituir na função objetivo — isso reduz o número de variáveis que precisamos considerar.
Passo 3
Substituímos
na função objetivo
. Fazendo a substituição temos
Ou seja, após usar a segunda restrição, a função que precisamos otimizar depende apenas de
:
.
Passo 4
Agora restou apenas a restrição circular
. Precisamos encontrar os possíveis valores de
que satisfazem essa equação. Da restrição segue
Como
, temos
, portanto
Explicação didática: geometricamente,
é um círculo de raio
centrado na origem; a coordenada
ao longo desse círculo atinge o máximo
e o mínimo
. Algebricamente, vimos isso pela desigualdade acima.
Passo 5
Como
, maximizar
é o mesmo que maximizar
, e minimizar
é o mesmo que minimizar
.
- O máximo possível de
na restrição é . Substituindo em obtemos , logo . Pelo isolamento anterior segue . Assim o ponto onde ocorre o máximo é . - O mínimo possível de
é . Análogo, e . Assim o ponto do mínimo é .
Passo 6
Calculamos os valores de
nesses pontos usando
:
- No máximo:
dá . - No mínimo:
dá .
Você conseguiu — reduzimos o problema limpando uma variável e usando a geometria do círculo para achar os extremos de maneira simples.
Resposta
Máximo:
em
.\nMínimo:
em
.