Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função real. Um ponto x_{0} \in \mathbb{R} é dito ponto fixo de f se f\left(x_{0}\right)=x_{0}. Suponha que existe uma constante 0<\lambda<1 tal que \left|f^{\prime}(x)\right| \leq \lambda para todo x \in \mathbb{R}.
a) Prove que f possui um único ponto fixo x_{0}.
b) Prove ainda que x_{0}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, sendo x_{1} um número real arbitrário de \mathbb{R} e x_{n+1}= f\left(x_{n}\right) para n=1,2,3, \ldots.
Passo 1
O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável (implícito por falar de f') e uma constante 0<\lambda<1 tal que
\left|f'(x)\right|\le \lambda\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
As perguntas são duas:
a) Mostrar que f possui um único ponto fixo x_{0}, isto é, há exatamente um ponto x_{0} tal que f(x_{0})=x_{0}.
b) Mostrar que, para qualquer x_{1}\in\mathbb{R} e a sequência definida por x_{n+1}=f(x_{n}) (n\ge1), tem-se
x_{0}=\lim_{n\to\infty} x_{n}.
Listei o que foi dado e o que precisa ser provado; agora vou desenvolver a solução passo a passo, explicando os fatos usados (como o Teorema do Valor Médio, continuidade, noções de sequência de Cauchy etc.) de forma bem didática.
Passo 2
Primeira observação útil (explicação da ferramenta): o Teorema do Valor Médio (TVM) diz o seguinte: se uma função g é diferenciável em um intervalo aberto que contém os pontos a e b, então existe um \xi entre a e b tal que
g(b)-g(a)=g'(\xi)\,(b-a).
Daí segue imediatamente uma desigualdade prática: se sabemos que |g'(x)|\le L para todo x desse intervalo, então aplicando o TVM obtemos
|g(b)-g(a)| = |g'(\xi)|\,|b-a| \le L |b-a|.
Isto é, g é Lipschitz com constante L. Vou aplicar isto a f, com L=\lambda<1.
Passo 3
Aplicando o TVM a f (que é diferenciável em \mathbb{R} e tem derivada limitada por \lambda), obtemos para quaisquer x,y\in\mathbb{R}:
|f(x)-f(y)| \le \lambda |x-y|.
Esta desigualdade diz que f é uma contração global: a distância entre imagens é reduzida em, no máximo, um fator \lambda. Isso já é uma peça-chave: funções contrativas trazem unicidade e convergência iterativa.
Passo 4
Prova da unicidade do ponto fixo (parte a)): suponha, por contradição, que existam dois pontos fixos distintos a e b tais que f(a)=a e f(b)=b com a\ne b. Então
|a-b| = |f(a)-f(b)| \le \lambda |a-b|.
Como 0<\lambda<1, subtraindo \lambda|a-b| dos dois lados obtemos
(1-\lambda)|a-b| \le 0.
Mas 1-\lambda>0 e |a-b|>0, logo o produto (1-\lambda)|a-b|>0, contradição. Portanto não podem existir dois pontos fixos distintos; logo o ponto fixo, se existir, é único. (Aqui usei apenas a desigualdade de contração.)
Passo 5
Agora precisamos provar a existência do ponto fixo e que a sequência iterada converge para ele (parte b)). Definimos a sequência arbitrária iniciando em qualquer x_{1}\in\mathbb{R} por
x_{n+1}=f(x_{n}),\qquad n\ge1.
Vou mostrar que (x_{n}) é uma sequência de Cauchy e, como \mathbb{R} é completo, ela converge; o limite será um ponto fixo de f.
Passo 6
Cálculo das diferenças sucessivas: usando a propriedade de contração temos, para todo n\ge1,
Finalmente vemos que, como 0<\lambda<1, o fator \lambda^{\,n-1} tende a zero quando n\to\infty. Para qualquer \varepsilon>0 escolhemos N tal que |x_{2}-x_{1}|\frac{\lambda^{\,N-1}}{1-\lambda}<\varepsilon; então para todo m>n\ge N temos |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon. Isso mostra que (x_{n}) é uma sequência de Cauchy. Como \mathbb{R} é completo, existe x_{0}\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty} x_{n} = x_{0}.
Passo 9
Mostrando que o limite x_{0} é um ponto fixo: primeiro observe que a condição |f'(x)|\le\lambda implica que f é contínua (derivável implica contínuo). Assim, passando ao limite na definição x_{n+1}=f(x_{n}) quando n\to\infty, obtemos
Portanto x_{0} é um ponto fixo. Pela unicidade provada no Passo 4, este é o único ponto fixo de f.
Passo 10
Conclusão sobre convergência e taxa: juntando os resultados, mostramos que para qualquer escolha do x_{1} inicial a sequência iterada (x_{n}) converge para o único ponto fixo x_{0}. Podemos ainda extrair uma estimativa de erro exponencial: usando a contração em torno do ponto fixo, para todo n\ge1,
Isto mostra convergência geométrica: a distância para o ponto fixo decai pelo fator \lambda a cada iteração. (Se quisermos uma estimativa sem conhecer x_{0} inicialmente, use a desigualdade do Passo 7 para controlar diferenças entre termos e deduzir limites.)
Resposta
a) Existe exatamente um ponto fixo x_{0} de f.
b) Para qualquer x_{1}\in\mathbb{R} e x_{n+1}=f(x_{n}), tem-se \displaystyle x_{0}=\lim_{n\to\infty} x_{n}.