Seja L uma função real definida em ( 0,+\infty ) satisfazendo
L(x y)=L(x)+L(y)
e
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{L(1+x)}{x}=1
Mostre que L(x)=\ln x, para todo x \in(0,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá uma função real L definida em (0,+\infty) que satisfaz duas propriedades. Vou listar com clareza o que o problema pede e o que é dado:
  • Dados:
    L(xy)=L(x)+L(y)\quad\text{para todo }x,y>0,
    e
    \lim_{x\to 0}\frac{L(1+x)}{x}=1.
  • Pedido: mostrar que
    L(x)=\ln x\quad\text{para todo }x\in(0,+\infty).
Nada mais será assumido; a resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro fato simples e útil: avaliando a igualdade funcional em x=y=1 obtemos
L(1\cdot 1)=L(1)+L(1),
ou seja
L(1)=2L(1).
Subtraindo L(1) de ambos os lados resulta
L(1)=0.

Passo 3

Mostro agora propriedades de homogeneidade para potências inteiras. Para n\in\mathbb{N} (inteiro positivo) aplico recursão:
L(x^n)=L(x\cdot x^{n-1})=L(x)+L(x^{n-1}).
Pela indução isso dá
L(x^n)=n\,L(x)\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Para inteiros negativos n usamos x^{-n}=(x^n)^{-1} e a relação com L(1)=0 para obter
L(x^{-n})=-n\,L(x),
portanto a fórmula vale para todo n\in\mathbb{Z}:
L(x^n)=n\,L(x)\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora estendo para racionais. Seja p/q um racional com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N}. Note que para x>0 existe a raiz x^{1/q}>0 e vale (x^{1/q})^q=x. Aplicando o resultado do passo anterior:
L\big((x^{1/q})^p\big)=p\,L(x^{1/q}).
Mas (x^{1/q})^{p} = x^{p/q} e, por outro lado,
q\,L(x^{p/q}) = L\big((x^{p/q})^q\big)=L(x^p)=p\,L(x).
Dividindo por q vem
L(x^{p/q})=\frac{p}{q}\,L(x).
Assim, para todo racional r temos
L(x^{r})=r\,L(x).

Passo 5

Uma mudança de variável muito útil: defino a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
f(t)=L\big(e^{t}\big).
Essa definição faz sentido porque e^{t}\in(0,+\infty) para todo t. Vou ver qual equação funcional f satisfaz. Para s,t\in\mathbb{R},
f(t+s)=L\big(e^{t+s}\big)=L\big(e^{t}\,e^{s}\big)=L(e^{t})+L(e^{s})=f(t)+f(s).
Portanto f é aditiva:
f(t+s)=f(t)+f(s)\quad\text{para todo }t,s\in\mathbb{R}.
Além disso, do passo 2, f(0)=L(e^{0})=L(1)=0.

Passo 6

Agora conecto a condição de limite dada com a derivada de f em 0. A condição original é
\lim_{x\to 0}\frac{L(1+x)}{x}=1.
Faço a mudança x=e^{t}-1, que vai a 0 quando t\to 0. Então, para t\to 0,
\frac{L(e^{t})}{t} = \frac{L(1+(e^{t}-1))}{e^{t}-1}\cdot\frac{e^{t}-1}{t}.
Pelo limite dado, o primeiro fator tende a 1 quando t\to 0. O segundo fator tende a 1 também, porque
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1
(teste padrão da exponencial). Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{L(e^{t})}{t}=1.
Mas L(e^{t})=f(t), logo
\lim_{t\to 0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=1,
ou seja, f é derivável em 0 e
f'(0)=1.
Em particular f é contínua em 0.

Passo 7

Vou usar agora um fato fundamental sobre a equação de Cauchy (função aditiva): se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz f(t+s)=f(t)+f(s) para todo t,s e é contínua em um ponto (aqui em 0), então f é linear, isto é, existe c\in\mathbb{R} tal que
f(t)=c\,t\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Vou provar esse fato de forma direta e explicada:
  • Para inteiros n temos por indução f(n)=n f(1).
  • Para inteiros negativos a mesma relação vale, então para n\in\mathbb{Z} temos f(n)=n f(1).
  • Para racionais r=p/q com p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}, usando aditividade qf(r)=f(qr)=f(p)=p f(1), logo f(r)=(p/q)f(1)=r f(1).
  • Assim f coincide com a função r\mapsto r f(1) em \mathbb{Q}.
  • Como f é contínua em 0, pela aditividade ela é contínua em todo ponto: para qualquer a, \lim_{h\to 0} f(a+h)-f(a) = \lim_{h\to 0} f(h)=0,então f contínua em 0\Rightarrow contínua em \mathbb{R}.
  • Qualquer número real t pode ser aproximado por racionais r_n\to t. Pela continuidade, f(t)=\lim_{n\to\infty} f(r_n)=\lim_{n\to\infty} r_n f(1)=t f(1).
Portanto f(t)=c t com c=f(1). Outro modo de ver o valor de c é usar f'(0): se f(t)=c t então f'(0)=c. Como no passo anterior encontramos f'(0)=1, segue que c=1.

Passo 8

Da conclusão do passo anterior temos
f(t)=t\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Voltando à definição de f, isto significa
L\big(e^{t}\big)=t\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.

Passo 9

Finalmente, para qualquer x\in(0,+\infty) existe t=\ln x tal que x=e^{t}. Substituindo t=\ln x na identidade anterior obtemos
L(x)=L\big(e^{\ln x}\big)=\ln x.
Isso vale para todo x>0.

Resposta

L(x)=\ln x para todo x\in(0,+\infty).

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