Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que:
i) f é contínua em \mathbb{R} e f(0) \neq 0;
ii) f é derivável em x=0;
iii) f(x+y)=f(x) f(y) para todo x, y \in \mathbb{R}.
Mostre que f(x)=e^{c x}, onde c=f^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em \mathbb{R} e f(0)\neq 0.
  • f é derivável em x=0; ou seja,
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}
existe.
  • A função satisfaz a identidade funcional
f(x+y)=f(x)\,f(y)\quad\text{para todo }x,y\in\mathbb{R}.
O que precisamos mostrar: existe c (que o enunciado sugere ser c=f'(0)) tal que
f(x)=e^{c x}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Determine f(0). Pegando x=0 e y=0 na identidade funcional obtemos
f(0)=f(0)f(0).
Isto implica f(0)(1-f(0))=0. Como o enunciado garante f(0)\neq 0, segue que
f(0)=1.
Explicação pequena: a equação a=a^2 tem soluções a=0 ou a=1; como a=f(0) não é zero, tem de ser 1.

Passo 3

Mostre que f(x)\neq 0 para todo x. Tomando y=-x na identidade funcional obtemos
f(x)f(-x)=f(0)=1.
Como o produto é 1, nenhum dos fatores pode ser nulo. Portanto, para todo x,
f(x)\neq 0.

Passo 4

Mostre que f(x)>0 para todo x. Coloque y=x/2 na identidade funcional:
f(x)=f\Big(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\Big)=f\Big(\frac{x}{2}\Big)^2.
Como f\big(\frac{x}{2}\big)\neq 0 (Passo 3), seu quadrado é estritamente positivo. Logo
f(x)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isso é útil porque permite usar o logaritmo natural \ln em f(x).

Passo 5

Mostre que f é derivável em todo ponto x e obtenha uma equação diferencial. Fixe x\in\mathbb{R} e considere o quociente incremental
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Usando a identidade funcional escrita com y=h temos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=f(x)\cdot\frac{f(h)-1}{h}.
Agora fazemos h\to 0. Como f é derivável em 0, o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}=f'(0)
existe. Multiplicando por f(x) obtemos:
f'(x)=f(x)\,f'(0)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicação: escrevemos o quociente como f(x) vezes um quociente que tende a f'(0), logo o quociente original tende a f(x)f'(0). Assim f é derivável em x e satisfaz a equação diferencial abaixo.

Passo 6

Resolver a equação diferencial. Denote c=f'(0) (é um número real). A equação do Passo 5 é
f'(x)=c\,f(x).
Esta é uma equação diferencial ordinária simples do tipo y' = c y. Uma forma elementar de resolver é separar variáveis:
\frac{f'(x)}{f(x)}=c.
Integrando ambos os lados entre 0 e x (justificado porque f(t)>0 e f é contínua/derivável),
\int_{0}^{x}\frac{f'(t)}{f(t)}\,dt=\int_{0}^{x} c\,dt.
No lado esquerdo reconhecemos a primitiva \frac{d}{dt}(\ln f(t))=\frac{f'(t)}{f(t)}. Assim
\ln f(x)-\ln f(0)=c x.
Usando f(0)=1 (Passo 2) temos \ln f(0)=\ln 1=0, então
\ln f(x)=c x.
Exponenciando ambos os lados obtemos
f(x)=e^{c x}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Resposta

f(x)=e^{c x}, onde c=f'(0).

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