Sejam
e
funções deriváveis em
satisfazendo
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
-
Informações dadas:
- São dadas duas funções
e deriváveis em . - Temos
. - Para todo
vale .
- São dadas duas funções
-
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
para todo .
- Mostrar que
Passo 2
Vamos simplificar a questão olhando para a diferença entre as funções. Defina a função
Explico por que isso ajuda e quais propriedades
tem:
- Como
e são deriváveis, a diferença também é derivável (a derivada da diferença é a diferença das derivadas). Ou seja,
- Das hipóteses do enunciado obtemos:
-
. - Para todo
: .
-
Portanto, temos uma função
tal que
e
para todo
. A meta agora é mostrar que isso implica
para todo
.
Passo 3
Aqui entra uma ferramenta clássica: o Teorema do Valor Médio (TVM). Vou enunciá‑lo e explicar bem.
Teorema do Valor Médio (TVM):
Se uma função é contínua em
e diferenciável em
, então existe um ponto
tal que
Se uma função
O que as variáveis significam aqui:
-
é qualquer função que satisfaça as hipóteses de continuidade e diferenciabilidade no intervalo considerado. -
e são as extremidades do intervalo. - O número
é algum ponto interior onde a igualdade acima vale.
Justificativa de aplicação: como
é derivável em
(logo contínua em
e diferenciável em
), podemos aplicar o TVM no intervalo
para qualquer
. Assim existe
tal que
Passo 4
Use agora a desigualdade sobre
e a fórmula do TVM que obtivemos.
- Pelo Passo 2 sabemos que
. - Além disso, para
temos . - Então o produto
.
Pelo TVM temos
Portanto
. Mas sabemos também que
. Juntando:
Isso vale para todo
. Para
a desigualdade é trivial, pois já foi dada
. Logo, para todo
temos
.
Passo 5
Traduzindo de volta para
e
: como
para todo
, concluímos que