Seja f: \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(A) uma função tal que:
i) X \subseteq Y \Rightarrow f(Y) \subseteq f(X)
ii) f(f(X))=X.
Prove que:
a) f\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f\left(X_{\lambda}\right)
b) f\left(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f\left(X_{\lambda}\right).
Aqui X, Y e cada X_{\lambda} são subconjuntos de A.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação \displaystyle f:\mathcal{P}(A)\to\mathcal{P}(A)
com duas propriedades fundamentais:
  1. antitonicidade:
X\subseteq Y\quad\Longrightarrow\quad f(Y)\subseteq f(X);
  1. involutividade:
f\bigl(f(X)\bigr)=X\quad\text{para todo }X\subseteq A.
Pede-se provar as “leis de De Morgan” para f:
a)
f\Bigl(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\Bigr) =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f\bigl(X_\lambda\bigr),
b)
f\Bigl(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\Bigr) =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f\bigl(X_\lambda\bigr).

Passo 2

Prova da inclusão
f\Bigl(\bigcup_{\lambda}X_\lambda\Bigr) \subseteq \bigcap_{\lambda}f\bigl(X_\lambda\bigr).
Como para cada \lambda vale
X_\lambda\;\subseteq\;\bigcup_{\mu}X_\mu,
pela antitonicidade temos
f\Bigl(\bigcup_{\mu}X_\mu\Bigr) \;\subseteq\;f\bigl(X_\lambda\bigr) \quad\text{para todo }\lambda.
Isto significa exatamente
f\Bigl(\bigcup_{\lambda}X_\lambda\Bigr) \subseteq \bigcap_{\lambda}f\bigl(X_\lambda\bigr).

Passo 3

Prova da inclusão inversa
\bigcap_{\lambda}f\bigl(X_\lambda\bigr) \subseteq f\Bigl(\bigcup_{\lambda}X_\lambda\Bigr).
Denote \displaystyle U=\bigcup_{\lambda}X_\lambda
e \displaystyle I=\bigcap_{\lambda}f(X_\lambda).
Da antitonicidade, aplicado à inclusão \;I\subseteq f(X_\lambda)\; para cada \lambda, obtemos
f\bigl(f(X_\lambda)\bigr) \;\subseteq\; f(I).
Mas f(f(X_\lambda))=X_\lambda pela involutividade, logo para todo \lambda
X_\lambda\subseteq f(I) \quad\Longrightarrow\quad U=\bigcup_{\lambda}X_\lambda\subseteq f(I).
Agora aplicamos antitonicidade a \;U\subseteq f(I)\; e obtemos
f\bigl(f(I)\bigr)\;\subseteq\;f(U).
Finalmente, pela involutividade f(f(I))=I, segue
I\subseteq f(U),
ou seja,
\bigcap_{\lambda}f\bigl(X_\lambda\bigr) \subseteq f\Bigl(\bigcup_{\lambda}X_\lambda\Bigr).

Passo 4

Concluímos da Passo 2 e Passo 3 que
f\Bigl(\bigcup_{\lambda}X_\lambda\Bigr) = \bigcap_{\lambda}f\bigl(X_\lambda\bigr),
ou seja, a parte (a) está demonstrada.

Passo 5

Para provar (b), basta aplicar o resultado de (a) às coleções \{\,f(X_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}.
Na fórmula de (a) troque X_\lambda por f(X_\lambda). Então
f\Bigl(\bigcup_{\lambda}f(X_\lambda)\Bigr) =\bigcap_{\lambda}f\bigl(f(X_\lambda)\bigr) =\bigcap_{\lambda}X_\lambda.
Agora aplique f em ambos os lados e use involutividade:
f\bigl(\,\bigcap_{\lambda}X_\lambda\bigr) =f\Bigl(f\bigl(\bigcup_{\lambda}f(X_\lambda)\bigr)\Bigr) =\bigcup_{\lambda}f\bigl(X_\lambda\bigr).

Resposta

a) \;f\bigl(\bigcup_{\lambda}X_\lambda\bigr) =\bigcap_{\lambda}f(X_\lambda).
b) \;f\bigl(\bigcap_{\lambda}X_\lambda\bigr) =\bigcup_{\lambda}f(X_\lambda).

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