Seja
uma função tal que:
i)
ii)
.
Prove que:
a)
b)
.
Aqui
e cada
são subconjuntos de
.
i)
ii)
Prove que:
a)
b)
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
com duas propriedades fundamentais:
com duas propriedades fundamentais:
- antitonicidade:
- involutividade:
Pede-se provar as “leis de De Morgan” para
:
a)
a)
b)
Passo 2
Prova da inclusão
Como para cada
vale
pela antitonicidade temos
Isto significa exatamente
Passo 3
Prova da inclusão inversa
Denote
e .
Da antitonicidade, aplicado à inclusão para cada
, obtemos
e
Da antitonicidade, aplicado à inclusão
Mas
pela involutividade, logo para todo
Agora aplicamos antitonicidade a
e obtemos
Finalmente, pela involutividade
, segue
ou seja,
Passo 4
Concluímos da Passo 2 e Passo 3 que
ou seja, a parte (a) está demonstrada.
Passo 5
Para provar (b), basta aplicar o resultado de (a) às coleções
.
Na fórmula de (a) troque por
. Então
Na fórmula de (a) troque
Agora aplique
em ambos os lados e use involutividade:
Resposta
a)
b)
b)