Dados os pontos P(5,-1,2), A(3,1,-3) e B(4,-1,1). Determine:
\overrightarrow{A P} \times \overrightarrow{A B}

Passo 1

O enunciado dá os pontos P(5,-1,2), A(3,1,-3) e B(4,-1,1) e pede o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}. O conteúdo é produto vetorial em \mathbb{R}^3, que se calcula via determinante de matriz 3\times3.

Passo 2

Primeiro obtemos os vetores
\overrightarrow{AP} = P - A = (5-3,\,-1-1,\;2-(-3)) = (2,-2,5),
\overrightarrow{AB} = B - A = (4-3,\,-1-1,\;1-(-3)) = (1,-2,4).

Passo 3

O produto vetorial é
\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 2 & -2 & 5 \\[3pt] 1 & -2 & 4 \end{vmatrix},
onde cada componente se calcula isoladamente.]

Passo 4

Calculando componente a componente:
a) Componente x:
(-2)\cdot 4 - 5\cdot(-2) = -8 + 10 = 2.
b) Componente y:
5\cdot 1 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3.
c) Componente z:
2\cdot(-2) - (-2)\cdot 1 = -4 + 2 = -2.
Portanto
\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB} = (2,-3,-2).

Resposta

(2,-3,-2)

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