Seja f: N N uma função tal que f(x y)=f(x)+f(y) ; forall x, y in N. Mostre que: f(a^n)=n f(a) ; forall n >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que satisfaz a propriedade para todo . O que precisamos provar é que para qualquer . Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática e entender como a função se comporta quando aplicada a potências de um número.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a propriedade significa. Basicamente, ela diz que o valor da função em um produto de dois números é igual à soma dos valores da função nesses números separadamente. Isso é parecido com logaritmos, mas aqui estamos trabalhando com números naturais.

Passo 3

Agora, vamos usar a indução matemática para provar que . A indução tem dois passos: a base e o passo indutivo.

Passo 4

Base da indução: Vamos começar com f(a^1) = f(a) .
1 cdot f(a) = f(a)
E, pela fórmula que queremos provar:
Então, a base está ok.

Passo 5

Passo indutivo: Vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum f(a^k) = k cdot f(a) , ou seja:
f(a^k+1) = (k+1) cdot f(a)
Agora, precisamos mostrar que:

Passo 6

Observe que f(a^k+1) = f(a^k cdot a) = f(a^k) + f(a) . Usando a propriedade da função:
f(a^k+1) = k cdot f(a) + f(a) = (k + 1) cdot f(a)
Pela hipótese de indução:
Assim, provamos que se funciona para , funciona para .

Passo 7

Como a base da indução está ok e o passo indutivo está validado, pela indução matemática, a fórmula é verdadeira para todo .

Resposta

Para qualquer , temos que .

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