Para todo
, seja
Prove por indução em
que:
Prove por indução em
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que provar, para todo número natural
, que:
Aqui,
é o número harmônico, definido como:
Para provar isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
.
Calculando cada parte:
Então:
E:
Como
, a base da indução é válida.
Passo 3
Hipótese de indução: Agora, assumimos que a fórmula é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a fórmula também é válida para
.
Passo 4
Passo indutivo: Vamos provar que:
Começamos adicionando
aos dois lados da hipótese de indução:
Fatorando
do lado direito:
Agora, observamos que queremos chegar a
. Sabemos que:
Substituindo
na expressão:
Comparando com a expressão que obtivemos anteriormente:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Portanto, a fórmula é válida para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que para todo
: