Seja f_{n}: X \rightarrow \mathbb{R} uma sequência de funções tais que \sqrt[n]{\left|f_{n}(x)\right|} \leq k<1 para todo x \in X e para todo n \in \mathbb{N} \operatorname{com} k \in \mathbb{R}. Prove que as séries \sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{n}(x)\right| \mathrm{e} \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) são convergentes.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de funções f_{n}:X\to\mathbb{R} tal que, para todo x\in X e todo n\in\mathbb{N},
\sqrt[n]{\bigl|f_{n}(x)\bigr|}\le k<1,
onde k é uma constante real menor que 1. Queremos mostrar que