Seja f_{n}: X \rightarrow \mathbb{R} uma sequência de funções tais que \sqrt[n]{\left|f_{n}(x)\right|} \leq k<1 para todo x \in X e para todo n \in \mathbb{N} \operatorname{com} k \in \mathbb{R}. Prove que as séries \sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{n}(x)\right| \mathrm{e} \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x) são convergentes.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de funções f_{n}:X\to\mathbb{R} tal que, para todo x\in X e todo n\in\mathbb{N},
\sqrt[n]{\bigl|f_{n}(x)\bigr|}\le k<1,
onde k é uma constante real menor que 1. Queremos mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|f_{n}(x)\bigr| \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)
são convergentes.

Passo 2

A partir de
\sqrt[n]{\bigl|f_{n}(x)\bigr|}\le k
e elevando ambos os lados à potência n, obtemos
\bigl|f_{n}(x)\bigr|\le k^n.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}k^n
é uma série geométrica de razão k com \lvert k\rvert<1, logo ela converge. De fato,
\sum_{n=1}^{\infty}k^n = \frac{k}{1-k}<\infty.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação, como para todo n e todo x\in X vale
0\le \bigl|f_{n}(x)\bigr|\le k^n
e \sum k^n converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|f_{n}(x)\bigr|
também converge. Ou seja, \sum f_{n}(x) converge absolutamente.

Passo 5

De uma série absolutamente convergente conclui-se imediatamente que a série original converge. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)
é convergente para todo x\in X.

Resposta

As duas séries \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|f_{n}(x)\bigr| e \sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x) são convergentes.

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