Sejam f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada e integrável e F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma primitiva de f. Use o TVM para concluir que existe c \in[a, b] de maneira que \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x=f\text{(c)}.

Passo 1

O enunciado diz que f:[a,b]\to\mathbb{R} é limitada e integrável e que F:[a,b]\to\mathbb{R} é uma primitiva de f. Precisamos usar o Teorema do Valor Médio para derivadas (TVM) aplicado a F para provar que existe c\in[a,b] tal que
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx = f\text{(c)}.

Passo 2

Como F é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), o TVM garante a existência de algum c\in(a,b) tal que
F'\text{(c)} \;=\;\frac{F(b)-F(a)}{b-a}.

Passo 3

Por definição de primitiva, temos F'(x)=f(x) para todo x\in(a,b). Além disso, a diferença de valores de F é a integral de f:
F(b)-F(a) \;=\;\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Substituindo na igualdade do TVM obtemos
f\text{(c)} \;=\;\frac{F(b)-F(a)}{b-a} \;=\;\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Resposta

Portanto, existe c\in[a,b] tal que
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx = f\text{(c)}.

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