Sejam
uma função limitada e integrável e
uma primitiva de
. Use o TVM para concluir que existe
de maneira que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é limitada e integrável e que
é uma primitiva de
. Precisamos usar o Teorema do Valor Médio para derivadas (TVM) aplicado a
para provar que existe
tal que
Passo 2
Como
é contínua em
e diferenciável em
, o TVM garante a existência de algum
tal que
Passo 3
Por definição de primitiva, temos
para todo
. Além disso, a diferença de valores de
é a integral de
:
Substituindo na igualdade do TVM obtemos
Resposta
Portanto, existe
tal que