Seja f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa no aberto conexo \Omega \subset \mathbb{C}. Prove que f é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
f(\Omega) \subset \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \Omega\to\mathbb{C} é holomorfa num aberto conexo \Omega\subset\mathbb{C} e que f(\Omega)\subset\mathbb{R}. Queremos mostrar que f é constante.
Conteúdo: aplicação das equações de Cauchy–Riemann a f=u+iv, sabendo que a parte imaginária v é identicamente zero.

Passo 2

Escrevendo
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),\quad z=x+iy,
a hipótese f(\Omega)\subset\mathbb{R} implica que para todo (x,y)\in\Omega vale
v(x,y)=0.
Como f é holomorfa, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.

Passo 3

Da identidade v(x,y)\equiv0 segue v_x=0 e v_y=0. Substituindo nas Cauchy–Riemann obtemos
u_x = 0 \quad\text{e}\quad u_y=0
em todo \Omega. Portanto a função real u tem todas as derivadas parciais nulas, logo é constante em \Omega.

Resposta

f é constante.

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