- Seja
e
e
uma função holomorfa tal que
, para quaisquer
, com
. Mostre que existe
tal que
para todo
, sendo Ln o ramo principal do logaritmo.
Passo 1
O enunciado trata de uma função holomorfa
em
isto é, no plano complexo “cortado” ao longo do semieixo real negativo, que satisfaz
sempre que
. O objetivo é mostrar que existe uma constante
tal que
onde
é o ramo principal do logaritmo. Vamos usar a mudança de variável
, que identifica
com a faixa
e reduzir o problema à equação funcional aditiva para uma função holomorfa em
.
Passo 2
Defina a função
Como
mapeia
biholomorficamente em
e
é holomorfa em
, segue que
é holomorfa em
.
Passo 3
Para quaisquer
tais que
, temos
Portanto,
satisfaz a “equação de Cauchy” aditiva
Passo 4
Como
é holomorfa em um domínio convexo (a faixa
) e satisfaz a equação aditiva, seu derivado é constante. De fato, fixando
e variando
em uma vizinhança de
, de
segue, ao diferenciar em
, que
para todo
, logo
é constante em
. Seja então
Integrando e usando
, obtemos
Por conveniência, podemos absorver
em
definindo
de modo que
; em todo caso, o termo constante compromete a aditividade se for não nulo, forçando
. Assim
Passo 5
Voltando a
, como
com
(ramo principal), segue
Isto vale para todo
.
Resposta
Existe
tal que, para todo
,