1. Seja \Omega=\mathbb{C}-\{x+i y \in \mathbb{C} ; x \leq 0 e y=0\} e f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa tal que f\left(z_{1} z_{2}\right)=f\left(z_{1}\right)+f\left(z_{2}\right), para quaisquer z_{1}, z_{2} \in \Omega, com z_{1} z_{2} \in \Omega. Mostre que existe a \in \mathbb{C} tal que
f(z)=a \operatorname{Ln}(z),
para todo z \in \Omega, sendo Ln o ramo principal do logaritmo.

Passo 1

O enunciado trata de uma função holomorfa f em
\Omega = \mathbb{C}\setminus\{x+iy: x\le0,\;y=0\},
isto é, no plano complexo “cortado” ao longo do semieixo real negativo, que satisfaz
f(z_1z_2)=f(z_1)+f(z_2)
sempre que z_1,z_2,z_1z_2\in\Omega. O objetivo é mostrar que existe uma constante a\in\mathbb{C} tal que
f(z)=a\,\Ln(z),
onde \Ln é o ramo principal do logaritmo. Vamos usar a mudança de variável z=e^w, que identifica \Omega com a faixa
S = \{w\in\mathbb{C}:-\pi<\Im w<\pi\},
e reduzir o problema à equação funcional aditiva para uma função holomorfa em S.

Passo 2

Defina a função
g\colon S \to \mathbb{C}, \qquad g(w)=f\bigl(e^w\bigr).
Como e^w mapeia S biholomorficamente em \Omega e f é holomorfa em \Omega, segue que g é holomorfa em S.

Passo 3

Para quaisquer w_1,w_2\in S tais que w_1+w_2\in S, temos
g(w_1+w_2)=f\bigl(e^{w_1+w_2}\bigr) =f\bigl(e^{w_1}e^{w_2}\bigr) =f\bigl(e^{w_1}\bigr)+f\bigl(e^{w_2}\bigr) =g(w_1)+g(w_2).
Portanto, g satisfaz a “equação de Cauchy” aditiva
g(w_1+w_2)=g(w_1)+g(w_2).

Passo 4

Como g é holomorfa em um domínio convexo (a faixa S) e satisfaz a equação aditiva, seu derivado é constante. De fato, fixando w\in S e variando h em uma vizinhança de 0, de
g(w+h)-g(h)=g(w)
segue, ao diferenciar em h, que g'(w+h)-g'(h)=0 para todo h, logo g' é constante em S. Seja então
g'(w)=a,\quad a\in\mathbb{C}.
Integrando e usando g(0)=f(e^0)=f(1), obtemos
g(w)=g(0)+a\,w.
Por conveniência, podemos absorver g(0) em a\,w definindo a de modo que g(0)=0; em todo caso, o termo constante compromete a aditividade se for não nulo, forçando g(0)=0. Assim
g(w)=a\,w.

Passo 5

Voltando a f, como z=e^w com w=\Ln(z) (ramo principal), segue
f(z)=g\bigl(\Ln(z)\bigr) =a\,\Ln(z).
Isto vale para todo z\in\Omega.

Resposta

Existe a\in\mathbb{C} tal que, para todo z\in\Omega,
f(z)=a\,\Ln(z).

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