Seja f: R^2 R diferenciável, com nabla f(-3,-3)=(-2, a) e seja g(t)=f(2 t^2-5 t, t^3-4 t^2). Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta de equação y=-3 x+2.

Passo 1

O enunciado diz que fcolonR^2toR é diferenciável e que
nabla f(-3,-3)=(-2,a). Definimos
g(t)=fl(u(t),v(t)r),
com u(t)=2t^2-5t e v(t)=t^3-4t^2. Queremos escolher a para que a reta tangente ao gráfico de g em t=1 tenha coeficiente angular igual a -3 (pois é paralela a y=-3x+2). Para isso vamos usar a regra da cadeia para obter g'(1).

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto em que avaliamos o gradiente, isto é, l(u(1),v(1)r):
u(1)=2cdot1^2-5cdot1=2-5=-3,
v(1)=1^3-4cdot1^2=1-4=-3
Logo no ponto t=1 estamos em (-3,-3), onde de fato nabla f(-3,-3)=(-2,a).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u e v:
u'(t)=4t-5 Longrightarrow u'(1)=4cdot1-5=-1,
v'(t)=3t^2-8t Longrightarrow v'(1)=3cdot1^2-8cdot1=3-8=-5

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para g'(t):
g'(t) =partial fpartial x(u(t),v(t)),u'(t) +partial fpartial y(u(t),v(t)),v'(t)
Em t=1 isso fica
g'(1) =(-2)cdot(-1)+acdot(-5) =2-5a

Passo 5

Para que a reta tangente tenha coeficiente angular -3 precisamos de
g'(1)=-3 Longrightarrow 2-5a=-3 Longrightarrow -5a=-5 Longrightarrow a=1

Resposta

a=1

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