Seja f(t) que vale t se t<2 e vale 3 se t \geq 2. Considere também g(x)=t^{2}. Calcule a convolução de f por g.

Passo 1

O enunciado pede a convolução
(f * g)(t) \;=\;\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau
supondo sinais causais (isto é, f(\tau)=0\) e \(g(\tau)=0\) para \(\tau<0\)). Aqui \[f(\tau)= \begin{cases} \tau, &0\le \tau<2,\\\\ 3, &\tau\ge2, \end{cases}
e
g(t-\tau)=(t-\tau)^2.
Vamos dividir a análise em dois casos: 0\le t<2\] e \(t\ge2.

Passo 2

Caso 0\le t<2, todo \tau em [0,t] satisfaz \tau<2, logo f(\tau)=\tau. Assim
(f * g)(t) =\int_{0}^{t} \tau\,(t-\tau)^{2}\,d\tau.
Desenvolvendo:
\int_{0}^{t} \tau\,(t-\tau)^{2}\,d\tau =\int_{0}^{t} \bigl(t\,\tau^{2}-\tau^{3}\bigr)\,d\tau =t\frac{\tau^{3}}{3}\Big|_{0}^{t}-\frac{\tau^{4}}{4}\Big|_{0}^{t} =\frac{t^{4}}{3}-\frac{t^{4}}{4} =\frac{t^{4}}{12}.

Passo 3

Caso t\ge2, separamos a integral em [0,2] (onde f(\tau)=\tau) e em [2,t] (onde f(\tau)=3):
(f * g)(t) =\int_{0}^{2}\tau\,(t-\tau)^{2}\,d\tau +\int_{2}^{t}3\,(t-\tau)^{2}\,d\tau.

Passo 4

Calculemos cada parte:
1.
I_{1} =\int_{0}^{2}\tau\,(t-\tau)^{2}\,d\tau =\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}\tau-2t\,\tau^{2}+\tau^{3}\bigr)d\tau = t^{2}\frac{2^{2}}{2}-2t\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{4}}{4} =2t^{2}-\frac{16t}{3}+4.
2.
I_{2} =3\int_{2}^{t}(t-\tau)^{2}\,d\tau =3\int_{0}^{\,t-2}u^{2}\,du =3\cdot\frac{(t-2)^{3}}{3} =(t-2)^{3}.
Somando,
(f * g)(t) =2t^{2}-\frac{16t}{3}+4\;+\;(t-2)^{3} =t^{3}-4t^{2}+\frac{20\,t}{3}-4.

Resposta

(f * g)(t) = \begin{cases} 0, & t < 0, \\\ \dfrac{t^{4}}{12}, & 0 \le t < 2, \\\ t^{3} - 4t^{2} + \dfrac{20 t}{3} - 4, & t \ge 2. \end{cases}

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