Resolva a equação integral
Passo 1
O enunciado apresenta a equação integral de Volterra de segunda espécie
O conteúdo é resolução de equação integral por diferenciação sob o sinal de integral para obter uma EDO com condições iniciais.
Passo 2
Diferenciando em relação a
, usando a regra de Leibniz para o termo integral, obtemos
pois
.
Passo 3
Diferenciando novamente, chega-se a
Mas a integral é
. Logo
Passo 4
Reescrevendo como EDO padrão,
As condições iniciais vêm de
e de
.
Passo 5
A solução geral da homogênea
é
e uma particular para
é da forma
. Substituindo em
dá
, logo
,
. Assim
Passo 6
Usando
e
:
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos