Resolva a equação integral
1+t+\int_{0}^{t} \sin [2(t-\tau)] y(\tau) d \tau=y(t)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação integral de Volterra de segunda espécie
y(t)=1+t+\int_{0}^{t}\sin\bigl[2(t-\tau)\bigr]\,y(\tau)\,d\tau.
O conteúdo é resolução de equação integral por diferenciação sob o sinal de integral para obter uma EDO com condições iniciais.

Passo 2

Diferenciando em relação a t, usando a regra de Leibniz para o termo integral, obtemos
y'(t)=1+\int_{0}^{t}2\cos\bigl[2(t-\tau)\bigr]\,y(\tau)\,d\tau,
pois \sin[2(t-t)]\,y(t)=0.

Passo 3

Diferenciando novamente, chega-se a
y''(t) =2\,y(t)+\int_{0}^{t}(-4)\sin\bigl[2(t-\tau)\bigr]\,y(\tau)\,d\tau =2\,y(t)-4\int_{0}^{t}\sin\bigl[2(t-\tau)\bigr]\,y(\tau)\,d\tau.
Mas a integral é y(t)-1-t. Logo
y''(t)=2y(t)-4\bigl[y(t)-1-t\bigr] =-2y(t)+4+4t.

Passo 4

Reescrevendo como EDO padrão,
y''(t)+2\,y(t)=4t+4.
As condições iniciais vêm de y(0)=1+0+0=1 e de y'(0)=1+0=1.

Passo 5

A solução geral da homogênea y''+2y=0 é
y_h(t)=C_1\cos(\sqrt2\,t)+C_2\sin(\sqrt2\,t),
e uma particular para 4t+4 é da forma y_p(t)=a t+b. Substituindo em y''+2y=4t+4 2a t+2b=4t+4, logo a=2, b=2. Assim
y(t)=C_1\cos(\sqrt2\,t)+C_2\sin(\sqrt2\,t)+2t+2.

Passo 6

Usando y(0)=1 e y'(0)=1:
y(0)=C_1+2=1\implies C_1=-1,
y'(t)=-C_1\sqrt2\sin(\sqrt2\,t)+C_2\sqrt2\cos(\sqrt2\,t)+2 \implies y'(0)=C_2\sqrt2+2=1\implies C_2=-\frac1{\sqrt2}.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(t)=-\cos(\sqrt2\,t)-\frac{1}{\sqrt2}\sin(\sqrt2\,t)+2t+2.

Resposta

y(t)=2t+2-\cos\bigl(\sqrt2\,t\bigr)-\frac{1}{\sqrt2}\,\sin\bigl(\sqrt2\,t\bigr).

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