1. Seja f(x)=1+sen x+sen^2 x2+sen^3 x3+ldots+sen^10 x10.
    (a) Calcule f^prime(x).
    (b) Ache f^prime(pi6).
    (c) Existe algum x in(0, pi2) tal que f^prime(x)=cos x ?

Passo 1

O enunciado define
f(x)=1+sen x+sen^2x2+sen^3x3+cdots+sen^10x10
e pede:
(a) f'(x);
(b) f'l(tfracpi6r);
(c) verificar se existe xin(0,tfracpi2) tal que f'(x)=cos x.
O conteúdo envolvido é a derivada de potências de sen x (regra da cadeia) e soma de progressão geométrica.

Passo 2

Derivando termo a termo, a constante some e cada
sen^nxn
tem derivada
n,sen^n-1xcos xn =sen^n-1xcos x
Portanto
f'(x) =sumn=1^10sen^n-1xcos x =cos xsumk=0^9sen^kx

Passo 3

Para x=tfracpi6 temos sen(pi/6)=tfrac12 e cos(pi/6)=tfracraiz32. A soma geométrica é
sumk=0^9l(tfrac12r)^k =1-(tfrac12)^101-tfrac12 =2l(1-tfrac11024r) =1023512
Logo
f'!l(tfracpi6r) =raiz32cdot1023512 =1023raiz31024

Passo 4

Queremos f'(x)=cos x, isto é
cos xsumk=0^9sen^k x =cos x
Em (0,tfracpi2) vale cos xneq0, então dividimos e obtém-se
sumk=0^9sen^k x=1 Longrightarrow 1-sen^10x1-sen x=1 Longrightarrow sen xl(1-sen^9 xr)=0
Isto dá sen x=0 ou sen^9 x=1, ou seja x=0 ou x=tfracpi2, que não pertencem ao aberto (0,tfracpi2).

Resposta

(a) f'(x)=cos xsumk=0^9sen^k x.
(b) f'l(tfracpi6r)=1023raiz31024.
(c) Não existe xinl(0,tfracpi2r) tal que f'(x)=cos x.

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