Sejam f, g: S subset R^2 R duas funções de classe C^2 definidas no aberto S. Seja R uma região contida em S cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Prove as seguintes identidades, em que De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2 :
\oint_{C} f \frac{\partial g}{\partial n} d s=\iint_{R}[f \Delta g+\nabla f . \nabla g] d x d y.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções de classe C^2,
f,gcolon SsubsetR^2toR,
e uma região Rsubset S cuja fronteira C é uma curva de Jordan suave por partes, orientada positivamente. Queremos provar que
ointCf,partial gpartial n,ds = integral duplaRl(f,De<a g+nabla fcdotnabla gr),dx,dy

Passo 2

Lembramos que a derivada normal de g na fronteira é
partial gpartial n=nabla gcdot n,
onde n é o versor normal externo. Definimos então o campo vetorial
F:=f,nabla g,
que é de classe C^1 em overline R, pois f e g são C^2.

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
div,F =partialpartial x(f,gx)+partialpartial y(f,gy) =fx,gx+f,gxx+fy,gy+f,gyy =nabla fcdotnabla g+f,De<a g

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência (ou Teorema de Green no plano), para qualquer campo C^1 em overline R vale
ointCFcdot n,ds = integral duplaRdiv,F,dx,dy

Passo 5

Na fronteira C temos
Fcdot n =f,nabla gcdot n =f,partial gpartial n
Substituindo isso e o resultado de div,F na fórmula do Teorema da Divergência, obtemos precisamente
ointCf,partial gpartial n,ds = integral duplaRl(nabla fcdotnabla g+f,De<a gr),dx,dy

Resposta

ointCf,partial gpartial n,ds = integral duplaRl(f,De<a g+nabla fcdotnabla gr),dx,dy

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