Sejam duas funções de classe definidas no aberto . Seja uma região contida em cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes. Prove as seguintes identidades, em que :
\oint_{C} f \frac{\partial g}{\partial n} d s=\iint_{R}[f \Delta g+\nabla f . \nabla g] d x d y.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções de classe ,
e uma região cuja fronteira é uma curva de Jordan suave por partes, orientada positivamente. Queremos provar que
Passo 2
Lembramos que a derivada normal de na fronteira é
onde é o versor normal externo. Definimos então o campo vetorial
que é de classe em , pois f e g são C^2.
Passo 3
Calculamos a divergência de F:
div,F =partialpartial x(f,gx)+partialpartial y(f,gy) =fx,gx+f,gxx+fy,gy+f,gyy =nabla fcdotnabla g+f,De<a g
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência (ou Teorema de Green no plano), para qualquer campo C^1 em overline R vale
ointCFcdot n,ds = integral duplaRdiv,F,dx,dy
Passo 5
Na fronteira C temos
Fcdot n =f,nabla gcdot n =f,partial gpartial n
Substituindo isso e o resultado de div,F na fórmula do Teorema da Divergência, obtemos precisamente
ointCf,partial gpartial n,ds = integral duplaRl(nabla fcdotnabla g+f,De<a gr),dx,dy
Resposta
ointCf,partial gpartial n,ds = integral duplaRl(f,De<a g+nabla fcdotnabla gr),dx,dy