Seja f(x)=x^{3}+3 x.
Estude o sinal de f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{3}+3x e pede que a gente “estude o sinal” de f(x). Ou seja, precisamos identificar para quais x temos f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}+3x.
O que vamos buscar:
  • As raízes (pontos onde f(x)=0).
  • A fatoração útil para analisar o sinal.
  • A análise do sinal em intervalos determinados pelas raízes.

Passo 2

Procurar as raízes resolvendo f(x)=0.
Vamos resolver
x^{3}+3x=0.
Podemos fatorar x em evidência. Isso é uma técnica básica: quando todos os termos têm um fator comum, colocamos esse fator em evidência.

Passo 3

Fatoração passo a passo.
Tirando x em evidência obtemos
x^{3}+3x = x\bigl(x^{2}+3\bigr).
Explicando: x\cdot x^{2}=x^{3} e x\cdot 3=3x, então a fatoração está correta.
Agora impondo a igualdade a zero:
x\bigl(x^{2}+3\bigr)=0.
Pela propriedade do produto nulo, um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Então as possibilidades são
x=0 \quad\text{ou}\quad x^{2}+3=0.

Passo 4

Analisar x^{2}+3=0.
A equação x^{2}+3=0 x^{2}=-3, que não tem solução real porque x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}. Alternativamente, o discriminante seria negativo. Portanto, entre os fatores apenas x=0 é raiz real.
Conclusão parcial: a única raiz real é x=0. Logo f(0)=0.

Passo 5

Estudar o sinal de cada fator para decidir o sinal do produto f(x)=x\bigl(x^{2}+3\bigr).
Primeiro, note que para todo x\in\mathbb{R} vale
x^{2}\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^{2}+3\ge 3>0.
Portanto o fator \bigl(x^{2}+3\bigr) é sempre positivo, nunca muda de sinal.
O outro fator, x, tem sinal óbvio:
  • Se x>0 então x>0.
  • Se x=0 então x=0.
  • Se x<0 então x<0.
Como o sinal do produto é dado pelo produto dos sinais dos fatores, e x^{2}+3 é sempre positivo, o sinal de f(x) é o mesmo do sinal de x.

Passo 6

Concluir analisando intervalos e dar exemplos numéricos para fixar a ideia.
  • Para x>0: temos x>0 e x^{2}+3>0, então f(x)=x(x^{2}+3)>0.
    Exemplo: para x=2, f(2)=2^{3}+3\cdot2=8+6=14>0.
  • Para x=0: f(0)=0.
  • Para x<0: temos x<0 e x^{2}+3>0, então f(x)=x(x^{2}+3)<0.
    Exemplo: para x=-1, f(-1)=(-1)^{3}+3(-1)=-1-3=-4<0.
Portanto o sinal está completamente determinado pelo sinal de x.

Resposta

f(x)>0 para x>0
f(x)=0 para x=0
f(x)<0 para x<0

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