Seja
.
Estude o sinal de
.
Estude o sinal de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que a gente “estude o sinal” de
. Ou seja, precisamos identificar para quais
temos
,
e
.
Informações dadas:
- A função é
.
O que vamos buscar:
- As raízes (pontos onde
). - A fatoração útil para analisar o sinal.
- A análise do sinal em intervalos determinados pelas raízes.
Passo 2
Procurar as raízes resolvendo
.
Vamos resolver
Podemos fatorar
em evidência. Isso é uma técnica básica: quando todos os termos têm um fator comum, colocamos esse fator em evidência.
Passo 3
Fatoração passo a passo.
Tirando
em evidência obtemos
Explicando:
e
, então a fatoração está correta.
Agora impondo a igualdade a zero:
Pela propriedade do produto nulo, um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Então as possibilidades são
Passo 4
Analisar
.
A equação
dá
, que não tem solução real porque
para todo
. Alternativamente, o discriminante seria negativo. Portanto, entre os fatores apenas
é raiz real.
Conclusão parcial: a única raiz real é
. Logo
.
Passo 5
Estudar o sinal de cada fator para decidir o sinal do produto
.
Primeiro, note que para todo
vale
Portanto o fator
é sempre positivo, nunca muda de sinal.
O outro fator,
, tem sinal óbvio:
- Se
então . - Se
então . - Se
então .
Como o sinal do produto é dado pelo produto dos sinais dos fatores, e
é sempre positivo, o sinal de
é o mesmo do sinal de
.
Passo 6
Concluir analisando intervalos e dar exemplos numéricos para fixar a ideia.
-
Para
: temos e , então .
Exemplo: para, . -
Para
: . -
Para
: temos e , então .
Exemplo: para, .
Portanto o sinal está completamente determinado pelo sinal de
.