Seja
dada por
. Pede-se:
(a) Determinar
.
(b) Mostrar que
é injetora.
© Verificar se
é sobrejetora.
(a) Determinar
(b) Mostrar que
© Verificar se
Passo 1
Temos a função
dada por
. Vamos precisar: 1) determinar o conjunto
tal que
esteja em
e
; 2) usar derivada para injetividade; 3) analisar o conjunto imagem para sobrejetividade.
Passo 2
Para achar
, impomos as duas desigualdades e excluímos o ponto
:
(1)
:
Solução:
, excluindo
.
Passo 3
(2)
:
– Se
(isto é,
), multiplica-se sem inverter o sinal:
– Se
(isto é,
), ao multiplicar inverte-se o sinal:
Solução:
.
Passo 4
Fazendo a intersecção das duas condições com
obtemos
Passo 5
Para injetividade, calculamos a derivada:
Logo
é estritamente crescente em cada componente de
. Além disso, os valores de
em
ficam em
e em
ficam em
, faixas disjuntas. Portanto
é injetora.
Passo 6
Para sobrejetividade, veja que:
– Em
,
e
, cobrindo
.
– Em
,
e
, cobrindo
.
Assim
, exatamente o contradomínio, logo
é sobrejetora.
Resposta
(a)
. (b)
é injetora (derivada positiva e faixas disjuntas). ©
é sobrejetora (imagem
).