Seja f(x)=3+4 x3-x dada por A. Pede-se:
(a) Determinar f.
(b) Mostrar que f é injetora.
© Verificar se é sobrejetora.

Passo 1

Temos a função f: A to [-9,-1[ dada por f(x)=3+4x3-x. Vamos precisar: 1) determinar o conjunto A tal que f(x) esteja em [-9,-1[ e xneq3; 2) usar derivada para injetividade; 3) analisar o conjunto imagem para sobrejetividade.

Passo 2

Para achar A, impomos as duas desigualdades e excluímos o ponto x=3:
(1) f(x)>=-9:
3+4x3-x+9>=0
30-5x3-x>=0 Long<=ftrightarrow x-6x-3>=0
Solução: xin(-infty,3)cup[6,infty), excluindo x=3.

Passo 3

(2) f(x)<-1:
– Se 3-x>0 (isto é, x<3), multiplica-se sem inverter o sinal:
3+4x<-1(3-x) Longrightarrow 3+4x<-3+x Longrightarrow x<-2
– Se 3-x<0 (isto é, x>3), ao multiplicar inverte-se o sinal:
3+4x>-1(3-x) Longrightarrow 3+4x>-3+x Longrightarrow x>-2,
Solução: xin(-infty,-2)cup(3,infty).

Passo 4

Fazendo a intersecção das duas condições com xneq3 obtemos
A=(-infty,-2)cup[6,infty)

Passo 5

Para injetividade, calculamos a derivada:
f'(x)=(4)(3-x)-(3+4x)(-1)(3-x)^2=15(3-x)^2>0 forall xneq3
Logo f é estritamente crescente em cada componente de A. Além disso, os valores de f em (-infty,-2) ficam em (-4,-1) e em [6,infty) ficam em [-9,-4), faixas disjuntas. Portanto f é injetora.

Passo 6

Para sobrejetividade, veja que:
– Em [6,infty), f(6)=-9 e limxtoinftyf(x)=-4, cobrindo [-9,-4).
– Em (-infty,-2), limxto-inftyf(x)=-4 e limxto-2^-f(x)=-1, cobrindo (-4,-1).
Assim f(A)=[-9,-1), exatamente o contradomínio, logo f é sobrejetora.

Resposta

(a) A=(-infty,-2)cup[6,infty). (b) f é injetora (derivada positiva e faixas disjuntas). © f é sobrejetora (imagem f(A)=[-9,-1)).

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