Nos Exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=x^2 y z ; x=rs ; y=r e^s ; z=r e^-s ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais partial upartial r e partial upartial s da função u=x^2yz, onde
u
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis; vamos precisar das derivadas parciais de x,y,z em relação a x,y,z e das derivadas de r,s em relação a .

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de u em relação a x,y,z:
x,y,z
r,s

E as derivadas de em relação a :


Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para partial upartial r:

Substituindo:

Passo 4

Para simplificar, fazemos primeiro o produto xyz:

Então:



Somando tudo:

Passo 5

Aplicamos agora a regra da cadeia para partial upartial s:

Substituindo e simplificando como antes, obtemos:

Resposta

partial upartial r = 4r^3s^2, partial upartial s = -2r^4s^3.

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