Seja f(x) = e^x * x. Determine, se houver, os pontos de máximo e mínimo locais de f.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos de máximo e mínimo locais da função . Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função , que nos ajuda a identificar onde a função tem inclinação positiva ou negativa. A derivada primeira é dada por:
Usando a regra do produto, que diz que a derivada de é , temos:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos locais), igualamos a derivada primeira a zero:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, a única solução vem de:
Então, é um ponto crítico.

Passo 4

Agora, precisamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local. Para isso, vamos utilizar a derivada segunda de :
Aplicando novamente a regra do produto:
Agora, avaliamos a derivada segunda em :
Como , isso indica que a curva é côncava para cima nesse ponto, o que significa que é um mínimo local.

Resposta

A função possui um ponto de mínimo local em . Não há pontos de máximo local.

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