Seja
. Determine, se houver, os pontos de máximo e mínimo locais de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos de máximo e mínimo locais da função
. Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função
, que nos ajuda a identificar onde a função tem inclinação positiva ou negativa. A derivada primeira é dada por:
Usando a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, temos:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos locais), igualamos a derivada primeira a zero:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, a única solução vem de:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 4
Agora, precisamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local. Para isso, vamos utilizar a derivada segunda de
:
Aplicando novamente a regra do produto:
Agora, avaliamos a derivada segunda em
:
Como
, isso indica que a curva é côncava para cima nesse ponto, o que significa que
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo local em
. Não há pontos de máximo local.