Seja
. Estude a concavidade e determine, se houver, os pontos de inflexão de
.
Passo 1
Então, temos a função
. O objetivo aqui é estudar a concavidade dessa função e encontrar, se existirem, os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função, já que a concavidade está relacionada com a segunda derivada, e os pontos de inflexão são determinados onde a concavidade muda de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é o produto de
e
, então vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
. A derivada de
é
e a derivada de
é 1.
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos ajudará a determinar a concavidade. Vamos derivar
novamente usando a regra do produto.
Aqui,
e
. A derivada de
é
e a derivada de
é 1.
Então:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos,
, podemos analisar a concavidade da função. A concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos encontrar onde
:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
, então a equação
só será verdadeira quando
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos analisar os intervalos definidos por
para determinar a concavidade em cada intervalo:
-
Para
: - Escolha
. -
. - Portanto, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
. -
. - Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo.
- Escolha
Passo 6
Finalmente, vamos determinar o ponto de inflexão. O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Encontramos que isso acontece em
.
Para confirmar, calculamos
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função
é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. Existe um ponto de inflexão em
, que é o ponto
.