Seja f(x)=\frac{\left[\ln \left(x^{2}-1\right)\right]^{2}}{x^{2}-1}.
(a) Determinar o domínio de f
(b) Resolver a equação f(x)=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{\bigl[\ln\bigl(x^{2}-1\bigr)\bigr]^{2}}{x^{2}-1}
e pede: (a) o domínio de f; (b) as soluções da equação f(x)=0. Para isso vamos usar as condições de existência do logaritmo e a propriedade de que uma fração só é zero se o numerador for zero (desde que o denominador não seja).

Passo 2

Para f(x) existir como número real, precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo e que o denominador não se anule. Ou seja, exigimos
x^{2}-1>0
pois isso garante \ln(x^{2}-1) definido e x^{2}-1\neq0.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade
x^{2}-1>0
temos
x^{2}>1 \quad\Longrightarrow\quad x<-1\quad\text{ou}\quad x>1.
Logo o domínio é
(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 4

Para resolver f(x)=0, observamos que a fração só se anula se
\bigl[\ln\bigl(x^{2}-1\bigr)\bigr]^{2}=0
e o denominador já está garantido não ser zero dentro do domínio.

Passo 5

Da equação
\ln\bigl(x^{2}-1\bigr)=0
segue
x^{2}-1=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Como \pm\sqrt{2}\approx\pm1,414 caem em (-\infty,-1)\cup(1,\infty), ambas são soluções válidas.

Resposta

(a) (-\infty,-1)\cup(1,\infty)
(b) x=\pm\sqrt{2}

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