Seja f(x)=e^{3 x-1}.
(a) Resolver a equação f(x)=2
(b) Determinar f^{-1}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{3x-1} e pede em (a) resolver a equação f(x)=2 e em (b) determinar f^{-1}(x). Aqui vamos usar propriedades de exponenciais e logaritmos para a parte (a) e a definição de função inversa para a parte (b).

Passo 2

Para resolver f(x)=2 escrevemos
e^{3x-1}=2.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos
3x-1=\ln(2).
Isolando x, obtemos
x=\frac{\ln(2)+1}{3}.

Passo 3

Para achar f^{-1}(x), comece definindo y=f(x):
y=e^{3x-1}.
Troque x por y e y por x:
x=e^{3y-1}.
Novamente aplique o logaritmo natural:
3y-1=\ln(x),
e isole y:
y=\frac{\ln(x)+1}{3}.
Portanto,
f^{-1}(x)=\frac{\ln(x)+1}{3}.

Resposta

(a) x=\dfrac{\ln(2)+1}{3}.
(b) f^{-1}(x)=\dfrac{\ln(x)+1}{3}.

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