Seja f(x) uma função não definida em x_{0}.
Se \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty, mostre que f(x) não possui extensão contínua em x_{0}

Passo 1

O enunciado diz que f não está definida em x_{0}, mas que
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\infty.
Queremos mostrar que não existe nenhuma função g definida em x_{0} (tal que g(x)=f(x) para x\neq x_{0}) que seja contínua em x_{0}. Para isso, vamos usar a definição de limite infinito e a definição de continuidade num ponto.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma extensão contínua g de f em x_{0}. Isto é, definimos um valor real
L = g(x_{0})
e mantemos g(x)=f(x) para x\neq x_{0}, de modo que g seja contínua em x_{0}. Pela definição de continuidade, deveríamos ter
\lim_{x\to x_{0}}g(x)=g(x_{0})=L.

Passo 3

Por outro lado, sabemos que
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\infty
significa que, para todo M>0, existe \delta>0 tal que, se 0<|x - x_{0}|<\delta, então
f(x)>M.
Como g(x)=f(x) para x\neq x_{0}, essa mesma condição vale para g em torno de x_{0}.

Passo 4

Agora, escolha um valor finito hipotético para a extensão, digamos
L = g(x_{0}).
Considere
M = |L| + 1 > 0.
Pela definição de \lim_{x\to x_{0}}f(x)=\infty, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x - x_{0}|<\delta, vale
g(x)=f(x)>M=|L|+1.
Então, para esses x, temos
|g(x)-L| = f(x)-L \ge f(x) - |L| > (|L|+1)-|L| = 1.
Isto significa que para toda vizinhança de x_{0} (isto é, para todo 0<|x - x_{0}|<\delta) temos |g(x)-L|>1. Mas isso impede que g seja contínua em x_{0}, pois continuidade exigiria que, dado \varepsilon=1, existisse alguma vizinhança de x_{0} onde |g(x)-L|<1.

Resposta

Portanto, chegamos a uma contradição: não é possível escolher g(x_{0}) de modo a tornar g contínua em x_{0}. Logo, f não admite extensão contínua em x_{0}.

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