Seja
uma função não definida em
.
Se
, mostre que
não possui extensão contínua em
Se
Passo 1
O enunciado diz que
não está definida em
, mas que
Queremos mostrar que não existe nenhuma função
definida em
(tal que
para
) que seja contínua em
. Para isso, vamos usar a definição de limite infinito e a definição de continuidade num ponto.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma extensão contínua
de
em
. Isto é, definimos um valor real
e mantemos
para
, de modo que
seja contínua em
. Pela definição de continuidade, deveríamos ter
Passo 3
Por outro lado, sabemos que
significa que, para todo
, existe
tal que, se
, então
Como
para
, essa mesma condição vale para
em torno de
.
Passo 4
Agora, escolha um valor finito hipotético para a extensão, digamos
Considere
Pela definição de
, existe
tal que, sempre que
, vale
Então, para esses
, temos
Isto significa que para toda vizinhança de
(isto é, para todo
) temos
. Mas isso impede que
seja contínua em
, pois continuidade exigiria que, dado
, existisse alguma vizinhança de
onde
.
Resposta
Portanto, chegamos a uma contradição: não é possível escolher
de modo a tornar
contínua em
. Logo,
não admite extensão contínua em
.